3.1 Fonctions propres de $L=-iD_{x}$

On considère l'opérateur linéaire $L=iD_{x}$ et le produit scalaire sur l'intervalle $[a,b]$: $\langle \phi ,\psi \rangle =\int ^{b}_{a}dx\, \phi ^{*}(x)\psi (x)$. Si $\psi$ et $\phi$ sont des fonctions périodiques ( $\forall x,\, \psi (x+b-a)=\psi (x)$) montrons que $L$ est auto-adjoint par rapport à ce produit scalaire:

$$\langle \phi ,L\psi \rangle = -i\int _{a}^{b}dx\, \phi ^{*}(x)\psi '(x)$$

$$= -i\left[ \phi ^{*}(x)\psi (x)\right] ^{b}_{a}+i\int ^{b}_{a}dx\, {\phi '}^{*}(x)\psi (x)$$

$$= 0+\langle L\phi ,\psi \rangle$$

Les valeurs propres de $L=-iD_{x}$ sont donc réelles. De même, pour des fonctions périodiques, $L^{2}=-D_{x}^{2}$ sera auto-adjoint avec des valeurs propres positives, puisque $\langle \phi ,L^{2}\phi \rangle =\langle -iD_{x}\... ...nt _{a}^{b}dx\, \vert-i\phi '(x)\vert^{2}=\vert\vert\phi '\vert\vert^{2}\geq 0$.

La fonction propre ou le vecteur propre associé à la valeur propre réelle $k$ est solution de l'équation différentielle

$$L\phi =-i\frac{d\phi }{dx}=k\phi \, \Rightarrow \, \phi (x)=e^{ikx},$$

solution qui est unique à un facteur multiplicatif près, correspondant à un sous-espace propre de dimension 1. Pour satisfaire les conditions de périodicité (C.B.), il faut de plus que

$$\phi (x+b-a)=e^{ik(x+b-a)}=e^{ikx}=\phi (x)$$

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}[t]{l} k=\frac{2\pi n}{b-a}\doteq k_{n}\\ \phi _{n}=e^{ik_{n}x} \end{array}\right. \quad \textrm{avec }n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$$

Comme il se doit, les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux:

$$\langle \phi _{m},\phi _{n}\rangle = \int ^{b}_{a}dx\, e^{-ik_{m}x}\, e^{ik_{n}x}$$

$$= \int _{a}^{b}dx\: e^{i2\pi \frac{x}{b-a}(n-m)}$$

$$= \frac{b-a}{2\pi }\int _{0}^{2\pi }dx\, e^{i(n-m)\theta }\quad \textrm{avec }\theta =2\pi x/(b-a)$$

$$= (b-a)\delta _{mn}$$