3.2 Convergence et Complétude

Par des combinaisons linéaires des vecteurs $\phi _{n}$, on génère un espace vectoriel de dimension infinie, dont chaque vecteur est une fonction, donné par la série de Fourier

$$\psi (x)=\sum ^{+\infty }_{n=-\infty }c_{n}\, e^{ik_{n}x}$$

On peut alors se poser deux types de questions:

1. comment cette série converge-t-elle, et sous quelles conditions sur les coefficients de Fourier $\{c_{n}\}$, et
2. quel type de fonctions se laissent représenter par une telle série, ou dit autrement, dans quel espace de fonctions les $\{\phi _{n}(x)=e^{ik_{n}x}\}$ forment-ils une base.

Pour utiliser l'image naïve de la section 2.1, les vecteurs $\phi _{n}(x)$ peuvent s'assembler en une matrice de changement de base $U_{xn}$, avec l'index $n$ numérotant les vecteurs colonnes et l'index $x$ ``numérotant'' les lignes. On peut alors se demander si:

1. $(U_{xn})^{\dagger }U_{xn'}\begin{array}[b]{c} ?\\ = \end{array}\mathbb{1}_{nn'}$ qui concerne en fait la convergence de la série de Fourier, et si
2. $U_{xn}(U_{x'n})^{\dagger }\begin{array}[b]{c} ?\\ = \end{array}\mathbb{1}_{xx'}$ qui détermine la complétude de l'ensemble de vecteurs choisis.

3.2.1 Critère de convergence

La question est la suivante. Partant des coefficients $\{c_{n}\}$ on peut construire la série de Fourier $\psi _{\infty }(x)$. Dans un espace de dimension finie, on sait que les produits scalaires $\langle \phi _{n},\psi _{\infty }\rangle =c_{n}(b-a)$ redonnent les coefficients à un coefficient de normalisation près. Ceci n'est pas garanti en dimension infinie, à moins d'imposer des conditions supplémentaires.

Théorème 3.2   Si les séries partielles $S_{N}=\sum ^{+N}_{n=-N}\, \vert c_{n}\vert$convergent, alors la série de Fourier converge uniformément vers une fonction $\psi (x)$ continue $C^{0}$.

Preuve. En effet, la série partielle $\psi _{N}(x)=\sum ^{+N}_{n=-N}\, c_{n}\, e^{ik_{n}x}$converge puisque

$$\vert\psi _{N'}(x)-\psi _{N}(x)\vert = \left\vert \sum _{N<\vert n\vert\leq N'}c_{n}\, e^{ik_{n}x}\right\vert$$

$$\leq \sum _{N<\vert n\vert\leq N'}\left\vert c_{n}e^{ik_{n}x}\right\vert$$

$$= S_{N'}-S_{N}$$

Puisque $S_{N}$ converge, $\vert S_{N'}-S_{N}\vert<\epsilon$ dès que $N,N'>N(\epsilon ),$ et donc $\vert\psi _{N'}-\psi _{N}\vert$ aussi. De plus comme $N(\epsilon )$ est le même pour chaque $x,$ on a convergence uniforme, ce qui garantit la continuité de la limite $\psi$, puisque chaque $\psi _{N}$ est continue. $\qedsymbol$

Gràce à la convergence uniforme, on peut intégrer terme à terme, et $\sum _{n}e^{ik_{n}x}c_{n}/(ik_{n})$ convergera uniformément vers une primitive de $\psi$, primitive qui est donc au moins $C^{1}$. On peut de même dériver terme à terme, pour autant que les coefficients de la dérivée $ik_{n}c_{n}$ forment une série absolument convergente. Puisque la convergence des $\vert c_{n}\vert$ dépend de leur comportement à grand $n,$ on voit que

$$\vert c_{n}\vert\sim \frac{1}{n^{\al... ...t\{ \begin{array}{c} \psi \in C^{k-1}\\ \psi \not \in C^{k} \end{array}\right.$$ (3.2.1)

En effet, pour $k=1,$ on retrouve que $\alpha >1$ est nécessaire à la convergence absolue des $S_{N}$, et donc à la continuité de $\psi$. Si $\alpha >2,$ on peut faire le même raisonnement pour la dérivée $d\psi /dx$, ce qui permet de généraliser à tout entier $k$.

Théorème 3.2   Si $\sum _{n}c_{n}e^{ik_{n}x}$ converge uniformément vers $\psi (x)$, alors

$$c_{n}=\frac{1}{b-a}\int _{a}^{b}dx\, e^{-ik_{n}x}\psi (x)=\langle e^{ik_{n}x},\psi \rangle /(b-a)$$

Preuve. En toute rigueur, on a besoin de la convergence uniforme pour intégrer la série infinie terme à terme et retrouver ce résultat intuitif bien connu dans un espace de dimension finie. On peut alors être assuré que partant des coefficients $\{c_{n}\}$, si on construit la série Fourier, on obtient une fonction $\psi$ dont les produits scalaires avec les fonctions $\phi _{n}$ vont bien redonner les coefficients dont on était parti. $\qedsymbol$

3.2.2 Critères de développement

En pratique, c'est la question inverse qui est la plus intéressante: partant d'une fonction arbitraire $\psi (x)$, on peut bien calculer des coefficients de Fourier $c_{n}=\langle e^{ik_{n}x},\psi \rangle /(b-a)$, mais on est pas assuré que la série de Fourier $\psi _{\infty }(x)$ calculée avec ces coefficients particuliers converge et redonne bien la fonction de départ $\psi (x)$. Si c'est le cas, les fonctions $\{e^{ik_{n}x}\}$ foment un ensemble complet. Dans le cas contraire, il y aura des fonctions $\nu$ orthogonales à tous les vecteurs $\phi _{n}$. L'existence de telles fonctions ne fait aucun doute. On peut par exemple prendre une fonction nulle sur tout le segment $[a,b]$ sauf en un point. Une telle fonction aura un produit scalaire nul avec tous les $\phi _{n}$, ainsi d'ailleurs qu'avec n'importe quelle fonction continue. La question est plutôt de savoir si il est important de pouvoir distinguer ces fonctions $\nu$ de la fonction nulle. Dans l'exemple donné plus haut d'une fonction nulle presque partout, la réponse physique est non. On peut aussi chercher des conditions comme la continuité qui restreignent l'espace de fonctions considéré, et éliminent ces vecteurs $\nu$. En réalité, la continuité est un peu trop forte, on peut se contenter de la continuité par morceaux, c'est-à-dire la continuité partout sauf en un nombre fini de points.

Théorème 3.2   Si $\psi (x)$ est continue par morceaux sur l'intervalle $[a,b]$ et possède partout une dérivée à gauche et une dérivée à droite (éventuellement différentes), alors la série de Fourier construite avec les $c_{n}=\langle e^{ik_{n}x},\psi \rangle /(b-a)$ sera

$$\psi _{\infty }(x)=\sum ^{+\infty }_{n=-\infty }c_{n}\, e^{ik_{n}x}=\frac{1}{2}\left[ \psi (x+0)+\psi (x-0)\right]$$

On peut sans changer les $c_{n}$ décider qu'aux éventuels points de discontinuité, $\psi (x)=\psi (x+0)+\psi (x-0)=\psi _{\infty }(x)$, auquel cas on a un premier espace vectoriel de fonctions (plus grand que les fonctions $C^{1}$) dans lequel la base de Fourier est complète. Le fait que ce soit la moyenne de la valeur à gauche et à droite de $\psi (x)$ qui intervienne s'appelle ``phénomène de Gibbs''. L'apparition d'une discontinuité dans $\psi _{\infty }$ signale l'absence de C.U. de la série de Fourier. Si l'on veut cette convergence, il faut demander plus:

Théorème 3.2   Si $\psi (x)$ est $C^{0}$, et $C^{1}$par morceaux, alors sa série de Fourier converge uniformément vers $\psi (x)$.

Que peut-on dire sans continuité? On admettra sans démonstration.

Théorème 3.2   Si $\psi (x)\in L^{2}$ est de carré sommable, alors ses coefficients de Fourier sont finis et on a l'égalité de Parseval:

$$\left\Vert \psi \right\Vert ^{2}=\in... ..., \vert\psi (x)\vert^{2}=(b-a)\sum ^{+\infty }_{n=-\infty }\vert c_{n}\vert^{2}$$

Cette égalité est importante car elle assure que la série partielle de Fourier $\psi _{N}(x)=\sum ^{+N}_{n=-N}\, c_{n}\, e^{ik_{n}x}$ converge en norme vers $\psi (x)$. En effet:

$$\vert\vert\psi -\psi _{N}\vert\vert^{2} = \langle \psi -\psi _{N},\psi -\psi _{N}\rangle$$

$$= \vert\vert\psi \vert\vert^{2}-\sum ^{N}_{n=-N}\left[ c_{n}\langle... ...le +c_{n}^{*}\langle e^{ik_{n}x},\psi \rangle +(b-a)\vert c_{n}\vert^{2}\right]$$

$$= \vert\vert\psi \vert\vert^{2}-(b-a)\sum ^{N}_{n=-N}\vert c_{n}\vert^{2}$$

converge bien vers 0 en vertu de l'égalité de Parseval. Tant que $N$ reste fini, il manque des vecteurs de base, et on a l'inégalité de Bessel:

$$\vert\vert\psi \vert\vert^{2}\leq (b-a)\sum ^{N}_{n=-N}\vert c_{n}\vert^{2}$$

La démonstration de l'égalité de Parseval sort du cadre de ce cours, mais il faut bien réaliser que même en acceptant ce résultat, on n'a pas montré que toute fonction de $L^{2}$ possédait un développement de Fourier unique. La convergence en norme implique simplement que la différence entre deux fonctions possédant le même développement est une fonction de norme nulle $\vert\vert\nu \vert\vert=0.$ L'existence de telles fonctions $\nu$ nulles non pas partout, mais seulement presque partout, montre que la norme quadratique ne satisfait pas aux conditions de définition d'une bonne norme sur les fonctions. Pour remédier à ce problème, on pourrait abandonner la norme quadratique au profit de la norme de la convergence uniforme, mais celle-ci ne dérive pas d'un produit scalaire, ce qui limite grandement ses possibilités. C'est pourquoi on préfère conserver cette norme, mais travailler dans un nouvel espace vectoriel $\mathcal{L}^{2}$ dont chaque point représente un ensemble de fonctions ne différant que par des fonctions $\nu .$ Comme déjà mentionné dans la section 2.3, les ambiguïtés apportées par cette imprécision sont sans conséquences en physique où la nature continue de l'espace-temps n'est jamais qu'une idéalisation invérifiable. Expérimentalement, les appareils actuels ne peuvent sonder cette continuité que sur des longueurs supérieures à $10^{-19}$mètre. Du point de vue théorique, pour envisager sonder des distances inférieures à $10^{-33}$ mètres, il faut d'abord réconcilier la mécanique quantique avec la relativité générale, entreprise si délicate qu'elle a induit Einstein à se détacher de la mécanique quantique dont il fut pourtant un fondateur.