3.4 Questions rapides

1. Montrer que les fonctions propres de $-iD_{x}$ sont aussi fonctions propres de l'opérateur linéaire $T_{z}$ de translation le long de l'axe $x$ par une quantité $z$: $\psi (x)\rightarrow T_{z}[\psi ]=\psi (x-z)$. Cet opérateur est-il hermitien pour des fonctions périodiques? Montrer que pour des fonctions propres, on a $T_{z}=e^{-zD_{x}}$. On dit dans ce cas que $-iD_{x}$ est le générateur des translations $T_{z}$.