3.3 Cas particuliers

Réalité:

si $\psi (x)=\psi ^{*}(x),$ alors on a

$$c_{n}^{*} = \frac{1}{b-a}\int _{a}^{b}dx\, e^{+ik_{n}x}\, \psi ^{*}(x)$$

$$= \frac{1}{b-a}\int _{a}^{b}dx\, e^{-ik_{-n}x}\, \psi (x)$$

et donc:

$c^{*}_{n}=c_{n}$

On peut alors regrouper les termes de la série de Fourier complexe:

$$\psi (x) = \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\, e^{ik_{n}x}$$

$$= c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(\cos k_{n}x+i\sin k_{n}x)+c_{n}^{*}(\cos k_{n}x-i\sin k_{n}x)$$

$$= a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos k_{n}x+b_{n}\sin k_{n}x$$

ce qui redonne la série de Fourier réelle avec $a_{0}\doteq c_{0}$, $a_{n}=(c_{n}+c_{n}^{*})$ et $b_{n}=i(c_{n}-c_{n}^{*})$.

Parité

si la fonction possède une parité définie $\psi (-x)=\pm \psi (x)$ (on supposera de plus $a=-b$, pour que l'intervalle soit symétrique), alors

$$c_{n} = \frac{1}{2b}\int _{-b}^{b}dx\, e^{-ik_{n}x}\, \psi (x)\qquad$$

$$= \frac{1}{2b}\int _{-b}^{b}dx'\, e^{+ik_{n}x'}\, \psi (-x')\qquad (\textrm{posant }x'=-x)$$

$$= \pm \frac{1}{2b}\int _{-b}^{b}dx'\, e^{-ik_{-n}x'}\, \psi (x')$$

et donc

$c_{n}=\pm c_{-n}$

Prolongement périodique

on a besoin d'une fonction périodique pour pouvoir développer en série de Fourier. C'est moins une restriction qu'il n'y parait, puisqu'à partir de toute fonction $\psi (x)$, on peut toujours définir une fonction périodique $\psi _{P}(x)$ en répétant périodiquement la fonction $\psi (x)$ restreinte à l'intervalle $[a,b]$:

$$\psi _{P}(x)=\psi (x+n(b-a));\, n\in \mathbb{Z},\, x+n(b-a)\in [a,b]$$

Ce prolongement introduit en général des discontinuités au bord pour $\psi _{P}$ ou ses dérivées. De plus, l'information contenue dans les valeurs de $\psi$ en dehors de l'intervalle sont irrémédiablement perdues quand on passe à $\psi _{P}$.