4.3 Propriétés de la Transformée de Fourier

Dans cette section, nous noterons $F[\psi ]$ la transformée de Fourier $\tilde{\psi }(k)$ de la fonction $\psi (x)$.

1. Linéarité: $F[\psi +\phi ]=F[\psi ]+F[\phi ]$.
2. Si $\psi \in L^{1}$, alors $F[\psi ]$ est bornée, continue et s'annule à l'infini: $\tilde{\psi }(k)\begin{array}[t]{c} \rightarrow \\ \vert k\vert\rightarrow \infty \end{array}0$.
3. Si $\psi$ et sa dérivée $d\psi /dx$ sont sommables ($\in L^{1}$), alors on montre (en intégrant par parties) que
   $$\boxed{F[d\psi /dx]=ikF[\psi ]}$$
   Ceci montre que l'opérateur de dérivation $D_{x}$ est devenu diagonal après passage en transformée de Fourier.
4. Si $\psi ,\, \frac{d\psi }{dx},\ldots \frac{d^{p}\psi }{dx^{p}}\in L^{1}$, alors pour tout $k$ on peut borner
   $$\vert F[\psi ]\vert=\left\vert \frac{F[d^{p}\psi /dx^{p}]}{k^{p}}\right\vert \leq \frac{C}{k^{p}}.$$
   On voit donc que plus $\psi$ est dérivable, plus vite sa transformée de Fourier $F[\psi ]$ décroit à grand $k$.
5. Si $\psi ,\, x\psi ,\ldots x^{p}\psi \in L^{1}$, alors
   $$\boxed{F[x^{l}\psi ]=i^{l}\frac{d^{l}}{dk^{l}}F[\psi ]};\quad \mathrm{pour}\, l=0\ldots p.$$
   On voit par là que plus $\psi (x)$ décroit rapidement à l'infini, plus sa transformée de Fourier $F[\psi ]$ est dérivable.
6. Conjugaison complexe:
   $$\boxed{F[\psi ](k)^{*}=F[\psi ^{*}](-k)}$$
   ce qui redonne bien $\tilde{\psi }(k)^{*}=\tilde{\psi }(-k)$ si $\psi$ est réelle, comme dans le cas de la série de Fourier.
7. L'opérateur translation est également diagonal en transformée de Fourier, puisque
   
   $$F[\psi (x-a)]=F[\psi (x)]\, e^{-ika}$$

8. Une dilatation $x\rightarrow \alpha x$ dans l'argument de $\psi (x)$ correspond à une contraction en $k\rightarrow k/\alpha$ dans l'argument de sa transformée $\tilde{\psi }(k)$:
   $$\boxed{F[\psi (\alpha x)](k)=\frac{1}{\vert\alpha \vert}F[\psi (x)](k/\alpha )}$$
   Pour bien comprendre ce résultat fondamental, démontrons-le explicitement:
   

   $$F[\psi (\alpha x)](k) = \int _{-\infty }^{\infty }dx\, e^{-ikx}\, \psi (\alpha x)$$

   $$= \frac{1}{\alpha }\int ^{\infty /\alpha }_{-\infty /\alpha }dt\, e^{-ikt/\alpha }\, \psi (t)\quad (t\doteq \alpha x)$$

   $$= \frac{1}{\vert\alpha \vert}\int ^{\i... ...\vert\alpha \vert}_{-\infty /\vert\alpha \vert}dt\, e^{-ikt/\alpha }\, \psi (t)$$

   $$= \frac{1}{\vert\alpha \vert}F[\psi (x)](k/\alpha )$$

   
   
   où dans l'avant-dernière ligne, on a renversé l'ordre des bornes d'intégration si $\alpha <0$. On voit donc que si la fonction $\psi (x)$ n'est significativement différente de $0$ qu'en une région de largeur $\Delta x$ en $x$, et de même pour sa transformée de Fourier $\tilde{\psi }(k)$ en une région $\Delta k$, on doit avoir pour le produit $\Delta x.\Delta k$ une constante, indépendante du changement d'échelle $\alpha$ en $x$. Ceci a des répercussions très importantes en théorie du signal. On ne peut par exemple s'assurer que $\left\vert \psi (x)\right\vert$ est monochromatique (petit $\Delta k$) que si on la mesure sur un grand domaine $\Delta x$: incertitude position-vecteur d'onde (ou si on prend $t$ et $\omega =2\pi \nu$: incertitude temps-fréquence $\longrightarrow$ plus une note est grave, plus il faut la jouer longtemps pour savoir si elle est juste).
   Pour $\alpha =-1\; \rightarrow$ si $\psi (x)$ est (im)paire, $\tilde{\psi }(k)$ aussi.
9. Composition:
   
   $$\boxed{F\left[ \psi \ast \phi \right] =F\left[ \psi \right] .F\left[ \phi \right] \sqrt{2\pi }}$$
   en effet:
   $$\int dx\, e^{-ikx}\int dy\, \psi (x-... ...'dy}e^{ik(\overbrace{{x-y}}^{x'})}\psi (\overbrace{{x-y}}^{x'})e^{-iky}\phi (y)$$