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4.3 Propriétés de la Transformée de Fourier

Dans cette section, nous noterons $ F[\psi ] $ la transformée de Fourier $ \tilde{\psi }(k) $ de la fonction $ \psi (x) $.

  1. Linéarité: $ F[\psi +\phi ]=F[\psi ]+F[\phi ] $.
  2. Si $ \psi \in L^{1} $, alors $ F[\psi ] $ est bornée, continue et s'annule à l'infini: $ \tilde{\psi }(k)\begin{array}[t]{c}
\rightarrow \\
\vert k\vert\rightarrow \infty
\end{array}0 $.
  3. Si $ \psi $ et sa dérivée $ d\psi /dx $ sont sommables ($ \in L^{1} $), alors on montre (en intégrant par parties) que

    $\displaystyle \boxed{F[d\psi /dx]=ikF[\psi ]}$

    Ceci montre que l'opérateur de dérivation $ D_{x} $ est devenu diagonal après passage en transformée de Fourier.
  4. Si % latex2html id marker 16286
$ \psi ,\, \frac{d\psi }{dx},\ldots \frac{d^{p}\psi }{dx^{p}}\in L^{1} $, alors pour tout $ k$ on peut borner

    $\displaystyle \vert F[\psi ]\vert=\left\vert \frac{F[d^{p}\psi /dx^{p}]}{k^{p}}\right\vert \leq \frac{C}{k^{p}}.$

    On voit donc que plus $ \psi $ est dérivable, plus vite sa transformée de Fourier $ F[\psi ] $ décroit à grand $ k$.
  5. Si % latex2html id marker 16298
$ \psi ,\, x\psi ,\ldots x^{p}\psi \in L^{1} $, alors

    % latex2html id marker 16300
$\displaystyle \boxed{F[x^{l}\psi ]=i^{l}\frac{d^{l}}{dk^{l}}F[\psi ]};\quad \mathrm{pour}\, l=0\ldots p.$

    On voit par là que plus $ \psi (x) $ décroit rapidement à l'infini, plus sa transformée de Fourier $ F[\psi ] $ est dérivable.
  6. Conjugaison complexe:

    $\displaystyle \boxed{F[\psi ](k)^{*}=F[\psi ^{*}](-k)}$

    ce qui redonne bien $ \tilde{\psi }(k)^{*}=\tilde{\psi }(-k) $ si $ \psi $ est réelle, comme dans le cas de la série de Fourier.
  7. L'opérateur translation est également diagonal en transformée de Fourier, puisque

    % latex2html id marker 16312
$\displaystyle F[\psi (x-a)]=F[\psi (x)]\, e^{-ika}$

  8. Une dilatation $ x\rightarrow \alpha x $ dans l'argument de $ \psi (x) $ correspond à une contraction en $ k\rightarrow k/\alpha $ dans l'argument de sa transformée $ \tilde{\psi }(k) $:

    $\displaystyle \boxed{F[\psi (\alpha x)](k)=\frac{1}{\vert\alpha \vert}F[\psi (x)](k/\alpha )}$

    Pour bien comprendre ce résultat fondamental, démontrons-le explicitement:
    $\displaystyle F[\psi (\alpha x)](k)$ $\displaystyle =$ % latex2html id marker 16329
$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\, e^{-ikx}\, \psi (\alpha x)$  
      $\displaystyle =$ % latex2html id marker 16333
$\displaystyle \frac{1}{\alpha }\int ^{\infty /\alpha }_{-\infty /\alpha }dt\, e^{-ikt/\alpha }\, \psi (t)\quad (t\doteq \alpha x)$  
      $\displaystyle =$ % latex2html id marker 16337
$\displaystyle \frac{1}{\vert\alpha \vert}\int ^{\i...
...\vert\alpha \vert}_{-\infty /\vert\alpha \vert}dt\, e^{-ikt/\alpha }\, \psi (t)$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\vert\alpha \vert}F[\psi (x)](k/\alpha )$  

    où dans l'avant-dernière ligne, on a renversé l'ordre des bornes d'intégration si $ \alpha <0 $. On voit donc que si la fonction $ \psi (x) $ n'est significativement différente de $ 0 $ qu'en une région de largeur $ \Delta x $ en $ x$, et de même pour sa transformée de Fourier $ \tilde{\psi }(k) $ en une région $ \Delta k $, on doit avoir pour le produit $ \Delta x.\Delta k $ une constante, indépendante du changement d'échelle $ \alpha $ en $ x$. Ceci a des répercussions très importantes en théorie du signal. On ne peut par exemple s'assurer que $ \left\vert \psi (x)\right\vert $ est monochromatique (petit $ \Delta k $) que si on la mesure sur un grand domaine $ \Delta x $: incertitude position-vecteur d'onde (ou si on prend $ t $ et $ \omega =2\pi \nu $: incertitude temps-fréquence $ \longrightarrow $ plus une note est grave, plus il faut la jouer longtemps pour savoir si elle est juste).
    Pour % latex2html id marker 16375
$ \alpha =-1\; \rightarrow $ si $ \psi (x) $ est (im)paire, $ \tilde{\psi }(k) $ aussi.
  9. Composition:

    $\displaystyle \boxed{F\left[ \psi \ast \phi \right] =F\left[ \psi \right] .F\left[ \phi \right] \sqrt{2\pi }}$

    en effet:

    % latex2html id marker 16383
$\displaystyle \int dx\, e^{-ikx}\int dy\, \psi (x-...
...'dy}e^{ik(\overbrace{{x-y}}^{x'})}\psi (\overbrace{{x-y}}^{x'})e^{-iky}\phi (y)$


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2000-10-06