4.5 Complétude (inversibilité de la Transformée de Fourier)

$\psi (x)\xrightarrow {K}\tilde{\psi }=K\psi =F\left[ \psi \right] \xrightarrow... ...si _{\infty }\left( x'\right) \begin{array}[b]{c} ?\\ = \end{array}\psi (x')$

$\begin{array}{ll} \displaystyle \psi _{\infty }(x... ...x-x'\right) }}{2\pi }}}_{K^{\dagger }K\left( x,x'\right) }\psi (x) \end{array}$

Si $\psi _{\infty }(x')=\psi (x')$, alors $K^{\dagger }K(x,x')=\delta (x-x')\Leftrightarrow K^{\dagger }K=\mathbb{1}_{xx'}$ $\begin{array}{ll} \Leftrightarrow \boxed{K^{-1}=K^{\dagger }} & (\mathrm{unitaire}) \end{array}$

Comme pour la série de Fourier, on a des restrictions sur $\mathbb{F}=\left\{ \psi \right\}$ où ça marche, à cause des même contre-exemples. On utilisera le théorème suivant:

Théorème   Égalité de Parceval

$$\boxed{\left\Vert \psi \right\Vert ... ...^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }dk\, \left\vert \tilde{\psi }\right\vert ^{2}}$$

$\rightarrow Si\; \psi \in L^{2}$ alors $\tilde{\psi }$ aussi (découle de Bessel)

Corollaire   Si $\psi \in L^{2}$, $\left\Vert \psi _{\infty }-\psi \right\Vert =0$ (se démontre comme pour la série de Fourier)