4.6 Transformée de Fourier à n dimensions

$$\tilde{\psi }\left( k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\right) \doteq \int... ...}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}\right) }\psi \left( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$$

$$\psi \left( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right) =\int \frac{dk_{1}d... ...cdots +k_{n}x_{n}\right) }\tilde{\psi }\left( k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\right)$$

$\rightarrow$ Combinaison linéaire de produits de fonctions à 1 variable.

Factorisation

$\psi \left( x_{1},x_{2}\right) =\psi _{1}(x_{1}).\psi (x_{2})\longrightarrow \... ...ht) =\tilde{\psi }_{1}\left( k_{1}\right) \tilde{\psi }_{2}\left( k_{2}\right)$

Invariance par rotation (pour $n=3$)

$\psi (x_{1},x_{2},x_{3})=\psi (r)$ avec $r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$ et $k=\sqrt{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}}$

$$% latex2html id marker 16449\begin{array}{ll} \displaystyl... ... _{0}^{\infty }dr\, r\sin \left( kr\right) \psi (r) \end{array}$$