7.8 Théorème et fonction de Green (Conditions au bord)

$$% latex2html id marker 18182\begin{array}{ll} L[z]=p_{ij}\... ...rm{e}}\textrm{rateur }\bold {adjoint}\textrm{ de }L \end{array}$$

Remarque   $L$ est aussi l'adjoint de $M$.

$$\Rightarrow \boxed{z_{1}L[z_{2}]-M[z_{1}]z_{2}=\partial _{i}(q_{i})}\qquad \qquad \bold {divergence\, totale}$$

avec $\begin{array}{ll} q_{i}(\vec{x}) & =z_{1}p_{ij}\p... ...ial _{j}(z_{1})z_{2}\right) +(p_{i}-\partial _{j}p_{ij})z_{1}z_{2} \end{array}$

$$\rightarrow \begin{array}{ll} \displ... ...rrightarrow{\mathbb {1}}_{n})}& \qquad \bold {Formule\, de\, Green} \end{array}$$

Si on connaît une fonction de Green $G(x;x')$, solution de $M_{x}[G(x;x')]=-\delta ^{n}(\vec{x}-\vec{x}')$ avec par exemple $G(x\in \partial D;x')=0$ et ce pour tout $x'\neq x,$ alors toute solution de $L[z]=0,$ avec $z$ connu sur $\partial D$ et en prenant $z_{1}(\vec{x})=G(\vec{x};\vec{x}')$ et $z_{2}(\vec{x})=z(\vec{x})$ pourra s'écrire:

$$z(\vec{x}')=\int _{D}d^{n}x\, \delta... ...;\vec{x}')\right) z(\vec{x}).\left( \overrightarrow{\mathbb{1}}_{n}\right) _{i}$$