Représentations des rotations

1. Représentation vectorielle $j=1$: Calculer les éléments de matrice de $J_{z}$ dans la base $\vert j,m\rangle$, pour le sous-espace vectoriel $j=1$. Les vecteurs $\vert j,m\rangle$ sont par définition orthonormés: $\langle j,m\vert j',m'\rangle =\delta _{jj'}\delta _{mm'}$, et on suppose l'état $\vert j,m_{max}=j\rangle$ non-dégénéré. Les relations de commutation

   $$[J_{z},J_{\pm }]=\pm \hbar J_{\pm };\quad [J_{+},J_{-}]=2\hbar J_{z}$$ (1)

   
   
   et l'orthonormalisation permettent-elles de choisir librement la phase des éléments
   $\langle j,m'\vert J_{\pm }\vert j,m\rangle$? Si oui on les prendra positifs: sont-ils alors complètement déterminés?
2. En déduire les éléments de matrices de $J_{x},J_{y}$, si $J_{\pm }\doteq J_{x}\pm iJ_{y}$.
3. On introduit une autre base orthonormée $\{\vert x\rangle ,\vert y\rangle ,\vert z\rangle \}$ dans le même espace des états à 3 dimensions, avec pour les seuls produits scalaires non-nuls:
   

   $$\langle z\vert 1,0\rangle = 1$$

   $$\langle x\vert 1,\pm1 \rangle = \mp 1/\sqrt{2}$$

   $$\langle y\vert 1,\pm1 \rangle = -i/\sqrt{2}$$

   
   
   Montrer que les éléments de matrices des $\vec{J}$ dans cette nouvelle base redonne (à un facteur $i\hbar$ près) les générateurs des rotations: $\left( J_{i}\right) _{jk}=-i\hbar \epsilon _{ijk}=i\hbar \left( R_{i}\right) _{jk}$. Faire le lien avec les harmoniques sphériques:
   

   $$Y_{1}^{0}(\theta ,\phi ) = \sqrt{3/4\pi }\cos (\theta )=\sqrt{3/4\pi }\frac{z}{r}$$

   $$Y_{1}^{\pm }(\theta ,\phi ) = \sqrt{3/8\pi }\sin (\theta )(\mp \cos (\phi )-i\sin (\phi )=\sqrt{3/8\pi }(\mp x-iy)/r$$

   
   

4. Mesures: Calculer la valeur moyenne et la variance des opérateurs $J_{x},J_{y},J_{z}$, $\vec{J}^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$ dans chacun des 3 états de la base $\vert j,m\rangle$. Quel(s) état(s) minimise(nt) l'incertitude $\langle\vec{J}^{2}\rangle -\langle\vec{J}\rangle .\langle\vec{J}\rangle$ sur le vecteur $\vec{J}$ ? Montrer que ces mêmes états saturent la relation d'incertitude $\Delta J_{x}\Delta J_{y}\geq \vert\langle i[J_{x},J_{y}]\rangle \vert/2$.
5. Image géométrique: On peut tenter de voir le moment angulaire quantique $\vec{J}$ dans ces différents états comme un vecteur de longueur $\hbar \sqrt{j(j+1)}$ dont la projection sur $z$ est fixée à $\hbar m$ et qui tourne très rapidement autour de l'axe $z$, donnant une moyenne nulle pour $J_{x}$ ou $J_{y}$ (un peu comme l'image du nuage électronique délocalisé d'un atome). Cette image permet-elle de comprendre qu'une certaine combinaison linéaire des états $\vert 1,m\rangle$ est état propre de $J_{x}$ avec la valeur propre $\hbar m_{x}$? Donner cet état pour $m_{x}=1$.

   
   
   

   
   
   
   

6. Opérateurs vectoriels: le moment cinétique $\vec{L}=\vec{x}\times \vec{p}=\epsilon _{ijk}\vec{e}_{i}x_{j}p_{k}$ fournit une représentation des ``petites'' rotations sur l'espace vectoriel des fonctions de $\vec{x}$ et de $\vec{p}$. Montrer en utilisant les relations de commutations canoniques $[x_{i},p_{j}]=i\hbar \delta _{ij}$ que:
   

   $$[L_{i},x_{l}]=i\hbar \epsilon _{ilk}x_{k}$$

   $$[L_{i},p_{l}]=i\hbar \epsilon _{ilk}p_{k}$$

   $$[L_{i},\vec{p}^{2}]=[L_{i},\vec{x}^{2}]=[L_{i},\vec{x}.\vec{p}]=0$$

   
   

7. Composition: si $\vec{V}$ et $\vec{W}$ sont 2 opérateurs vectoriels (c-à-d se transformant sous les rotations comme ci-dessus) qui commutent entre eux, montrer que $[L_{i},V_{j}W_{k}]$ est une combinaison linéaire des 9 opérateurs $V_{a}W_{b}$. Montrer que la partie scalaire (1 opérateur $\vec{V}.\vec{W}=\delta _{jk}V_{k}W_{k}=$Tr$(V_{j}W_{k})$), antisymétrique (3 opérateurs $(V_{j}W_{k}-V_{k}W_{j})/2$) et symétrique sans trace (5 opérateurs $(V_{j}W_{k}+V_{k}W_{j})/2-\vec{V}.\vec{W} \delta _{jk}/3$ ) ne se mélangent pas entre elles sous les rotations.
8. En particulier, si $\vert,0\rangle$ est l'état invariant (c.à-d. $\vec{L}\vert,0\rangle =0$), montrer que s'is ne sont pas nuls, les 3 états $\vec{x}\vert,0\rangle$ forment une représentation irréductible de dimension $3$ des rotations. Montrer de même que les 6 états obtenus par l'application des 6 opérateurs $xx,yy,zz,xy,yz,zx$ sur l'état invariant forment une représentation réductible en un invariant $\vec{x}^{2}\vert,0\rangle$ et une représentation de dimension 5. Faire le lien avec les harmoniques sphériques. Pouvez-vous généraliser et conclure qu'un opérateur vectoriel fait passer d'une representation $j$ à une représentation $j\pm 1$?
9. Clebsch-Gordan: Utilisez la table ci-dessous pour écrire

   $$\vert j_{1}=1,j_{2}=1;J=2,M=0\rangle =\sum _{m_{1}+m_{2}=M=0}c_{m_{1},m_{2}}\vert j_{1}=1,j_{2}=1;m_{1},m_{2}\rangle$$ (2)

   
   

10. [ex. supplém.] Si $M$ est une matrice $3\times 3$ agissant dans l'espace à 3 dimensions, elle se transforme sous une rotation $\mathbb{O}$ en une nouvelle matrice $M'=\mathbb{O}.M.\mathbb{O}^{t}$. Montrer que si on range les 9 éléments de matrices de $M$ en un vecteur colonne
    $$\{M_{xx},M_{xy},M_{xz},M_{yx},\ldots M_{zy},M_{zz}\}$$
    le vecteur de $M'$ peut s'obtenir par l'action de la matrice $\mathbb{O}\otimes \mathbb{O}$ sur le vecteur colonne de $M$. Sachant que par exemple $M_{yz}=\langle y\vert M\vert z\rangle$ et connaissant la transformation unitaire reliant $\{\vert x\rangle ,\vert y\rangle ,\vert z\rangle \}$ et $\vert j=1,m=+1,0,-1\rangle$, montrer comment utiliser la table de Clebsch-Gordan pour diagonaliser $\mathbb{O}\otimes \mathbb{O}$ en 3 blocs carrés de 5, 3 et 1 dimensions. Vérifier en particulier que le bloc à une dimension correspond bien à la combinaison invariante par rotation    Tr$M=M_{xx}+M_{yy}+M_{zz}$.