Oscillations dans un système à 2 états

On considère un système quantique à 2 états possibles ($\vert+\rangle$, $\vert-\rangle$) orthonormés ( $\langle+\vert+\rangle =\langle-\vert-\rangle =1$; $\langle+\vert-\rangle =0$). À l'instant $t=0$, on prépare le système dans un état (normalisé):

$$\vert\psi (t=0)\rangle =\cos \frac{\theta }{2}e^{-i\phi /2}\vert+\rangle +\sin \frac{\theta }{2}e^{i\phi /2}\vert-\rangle .$$ (3)

1. Quelle est la probabilité de trouver le système dans l'état $\vert+\rangle$ à $t=0$?
2. Si $\vert+\rangle$ et $\vert-\rangle$ sont des états propres d'énergie $E_{+}=\bar{E}+\hbar \omega _{0}/2$ et $E_{-}=\bar{E}-\hbar \omega _{0}/2$, comment évoluent-ils au cours du temps? En déduire $\vert\psi (t)\rangle$ par le principe de superposition.
3. Si on interprète ($\vert+\rangle$,$\vert-\rangle$) comme les états propres de spin $S_{z}$ d'un électron, calculer les valeurs moyennes des composantes de spin

   $$\langle\psi (t)\vert S_{i}\vert\psi (t)\rangle =\frac{\hbar }{2}\langle\psi (t)\vert\sigma _{i}\vert\psi (t)\rangle$$ (4)

   
   
   Quelle est la fréquence de précession de Larmor?
4. Comment varie la probabilité de retrouver l'état $\vert\psi (t=0)\rangle$ au cours du temps?¹ À quels moments est-elle minimale? Peut-elle s'annuler?
5. Neutrinos solaires: La chaleur du soleil provient de réactions nucléaires qui produisent des neutrinos $\nu _{e}$ d'une énergie $E_{\nu _{e}}\sim 1\mathrm{MeV}$. Ces neutrinos interagissent avec la matière terrestre, et sont donc détectés², mais en trop faible nombre pour expliquer la chaleur dégagée. Une manière d'expliquer ce déficit est d'imaginer que le $\nu _{e}$ produit par le soleil et détecté sur terre n'est pas un état propre de masse (c'est-à-dire d'énergie au repos) mais un mélange de 2 états de masse différente $m_{+}\not =m_{-}$. Quelle doit être cette difference de masse pour pouvoir expliquer le déficit?

   Remarque: bien que ces neutrinos soient ultra-relativistes, on peut calculer l'évolution de leur phase en mécanique quantique en se plaçant dans leur référentiel de repos. Par une transformation de Lorentz, on peut exprimer cette phase en termes de la masse $m_{\pm }$, de la distance terre-soleil $L=1.5\; 10^{11}$m, de l'énergie $E_{\nu _{e}}=1$MeV, et de $\hbar c=200$MeV $\times 10^{-15}$m.

6. Neutrinos atmosphériques: Le détecteur de neutrinos Super-Kamiokande situé au Japon, a confirmé en 98 une oscillation dans les neutrinos atmosphériques. Ces neutrinos sont produits par des rayons cosmiques frappant des particules de l'atmosphère. Super-K a montré une différence de flux entre les neutrinos atmosphériques venant du ciel et ceux venant du ciel aux antipodes qui ont donc dû traverser la terre pour atteindre le détecteur. À nouveau cette différence peut s'expliquer par une oscillation, mais avec une différence de masse plus importante. Il s'agit donc d'un autre couple de neutrinos que ceux pouvant expliquer le déficit solaire. Sachant que les neutrinos atmosphériques ont typiquement une énergie de 1GeV, et que la circonférence de la terre est de $4\; 10^{7}$m, la différence de masse $5\times10 ^{-4}<\Delta m^{2}<6\times 10^{-3}$ eV$^{2}$ publiée par Super-K cet été vous semble-t-elle raisonnable?