4.1 Limite continue de la série de Fourier

La série de Fourier peut se voir comme le développement dans une base de fonctions propres de l'opérateur de dérivation $D_{x}$, mais reste limitée à des fonctions périodiques. La généralisation à des fonctions non-périodiques porte le nom de transformée de Fourier. Partant d'une fonction $\psi (x)$ non-périodique sur $x\in ]-\infty ,+\infty [$ on peut construire la fonction

$$\psi _{P}(x)=\left\{ \begin{array}{l... ...(-\frac{P}{2})] & \mathrm{si}\, \mathrm{x}=(n+\frac{1}{2})P \end{array}\right.$$

La fonction $\psi _{P}$ est ainsi de période $P$ par construction $\psi _{P}(x+nP)=\psi _{P}(x)$, et on peut donc la développer en série de Fourier:

$$\psi _{P}(x) = \sum ^{\infty }_{n=-\infty }c_{n}\, e^{i\frac{2\pi n}{P}x}$$

$$= \sum _{k_{n}}\Delta k\, \tilde{\psi }_{P}(k_{n})\, e^{ik_{n}x}$$

où dans la deuxième forme, on a simplement introduit les notations suggestives

$$k_{n} \doteq \frac{2\pi n}{P};\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$$

$$\Delta k \doteq \frac{2\pi }{P}$$

et réécrit les coefficients de Fourier:

$$\tilde{\psi }_{P}(k_{n})\doteq \frac... ...\pi }}c_{n}=\int _{-P/2}^{P/2}dx'\, \frac{e^{-ik_{n}x'}}{\sqrt{2\pi }}\psi (x')$$

Si la fonction $\psi (x)$ est sommable^4.1, la fonction

$$\tilde{\psi }(k)\doteq \lim _{\begin... ...kx'}}{\sqrt{2\pi }}\psi (x')=\langle \frac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi }},\psi \rangle$$

existera et on appellera $\tilde{\psi }$ la transformée de Fourier de $\psi$. Pour $P\rightarrow \infty$, la somme $\sum _{k_{n}}\Delta k\rightarrow \int dk$ devient une intégrale, et on peut construire la fonction

$$\psi _{\infty }(x)\doteq \int _{-\infty }^{\infty }dk\, \frac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi }}\tilde{\psi }(k)$$

On voit donc que comme dans la série de Fourier, on est en train d'essayer de développer $\psi (x)$ sur un ensemble de fonctions $\phi _{k}(x)=e^{ikx}/\sqrt{2\pi }$, sauf que cet ensemble est labellé par un ``indice'' $k$, tout aussi continu que $x$: on passe d'une ``base'' continue $x$ à une autre ``base'' continue $k$.