5.1 Introduction-Généralités

Pour la suite du cours, on va prendre le changement de notations suivant: $\left\{ \begin{array}{l} \psi \rightarrow y\\ x\rightarrow t\\ \psi (x)\rightarrow y(t) \end{array}\right.$

On appelle $F\left( t,y(t),\frac{d}{dt}y(t),\frac{d^{2}}{dt^{2}}y(t),\ldots ,\frac{d^{n}}{dt^{n}}y(t)\right) =0$ équation différentielle d'ordre $n$ en la fonction $y(t)$

Notation

$y^{n/}=\overbrace{{\ddot{y}}}^{n\, \mathrm{points}}=\frac{d^{n}y}{dt^{n}}$

Forme canonique

on a résoudre en la dérivée d'ordre $n$:

$$y^{n/}(t)=f\left( t,y,\dot{y},\ldots ,y^{n-1/}\right)$$

Forme normale

on se ramène à un système de $n$ équations du $1^{er}$ ordre:

$$\dot{z}_{i}=f_{i}\left( t,z_{1},\ldots ,z_{n}\right) \qquad \mathrm{avec}\, \, i=1,\ldots ,n$$

Toute forme canonique peut se ramener à cette forme par:

$$\left\{ \begin{array}{ll} y\equiv z_... ... \dot{z}_{n}=y^{n/}=f\left( t,z_{1},\ldots ,z_{n}\right) & \end{array}\right.$$

Exemple   Oscillateur harmonique: $\ddot{y}+y=0$ $\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dot{z}_{1}=z_{2}\\ \dot{z}_{2}=-z_{1} \end{array}\right.$

$\left\{ z_{1},\ldots ,z_{n}\right\} \equiv$ espace des phases (coordonnées et vitesses généralisées)

Solution de l'équation différentielle

(ou courbe intégrale)
Tout(e) (ensemble de) fonction(s) $z_{i}(t)$ satisfaisant à l'équation différentielle.

Conditions aux limites

À un moment $t_{0}$, on peut librement choisir les $z_{i}(t_{0})\rightarrow n$ constantes d'intégration arbitraires: c'est le problème de Cauchy ou problème aux conditions initiales (C.I.). On veut parfois aussi remplacer des conditions au bord.

Exemple   Problème de tir.

On a un $z(x_{i})=0$ et un $z\left( x_{f}\right) =0$. En général, c'est beaucoup plus compliqué et ce problème n'admet pas toujours une solution (compatibilité des C.B.)

Existence et unicité de la solution

pour le problème de Cauchy.

• Intuitif:
  On se donne $z_{i}(t_{0})\rightarrow f_{i}(z_{i})\rightarrow \left. \frac{dz_{i}}{dt}\right\vert _{t=t_{0}}$
  $\begin{array}{ll} \rightarrow z_{i}\left( t_{0}+\... ...: \mathrm{de}\: \mathrm{proche}\: \mathrm{en}\: \mathrm{proche} & \end{array}$
  Il y aura un domaine en $t$ où $f$ ainsi construite existera, et sera unique si $f_{i}$ n'est pas une fonction univalue ($\equiv$ nombre unique pour chaque $z_{i}$)
• Plus formel: Approximations successives de Picard (1 dimension, $1^{er}$ ordre)
  
  $$% latex2html id marker 16508\begin{array}{lll} \displaysty... ...thrm{grale}\, \acute{\mathrm{e}}\mathrm{quivalente} \end{array}$$
  $\rightarrow$ approximations successives:
  $y_{0}(t)=y_{0}$
  $$y_{n+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}dt'\, f\left( t,y_{n}(t)\right)$$

Théorème   Si $f$ est $\left\{ \begin{array}{l} M-\mathrm{born}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}\\ k-\mathrm{Lipshitzienne} \end{array}\right.$ dans un même domaine $\left\{ \begin{array}{l} \left\vert y-y_{0}\right\vert <\Delta y\\ \left\vert t-t_{0}\right\vert <\Delta t \end{array}\right.$ c'est-à-dire: $\left\{ \begin{array}{l} \left\vert f(t,y_{1})-f(t,y_{2})\right\vert <k\left\v... ...y_{1}-y_{2}\right\vert \\ \left\vert f(t,y)\right\vert <M \end{array}\right.$, alors $y_{n}(t)$ converge uniformément vers la solution unique, pour $\vert t-t_{0}\vert<\min \left( \Delta t,\frac{\Delta y}{M}\right)$

Preuve. On montre que $\left\vert y_{n+1}-y_{n}\right\vert <\Delta y\frac{\left( k\vert t-t_{0}\vert\right) ^{n}}{n!}$ si $x-x_{0}<k$

($k$ donne la vitesse de convergence) $\qedsymbol$

Remarque   Sur le théorème:

$\qquad \ast$ pas pratique numériquement (on intègre pour chaque $n$)

$\qquad \ast$ se généralise pour le problème de Cauchy à $n$ dimensions