5.2 Equations particulières du 1er ordre

Partons de la forme normale de l'équation du 1er ordre:

$$\dot{y}=f(t,y)$$

et envisageons différents cas où la solution s'obtient par quadrature (c'est-à-dire, par des calculs de primitives).

5.2.1 $\frac {\partial f}{\partial y}=0$ ou $\frac {\partial f}{\partial t}=0$:

On obtient une solution par simple intégration. Ou bien

$$\dot{y}=f(t)\rightarrow y(t)=\int ^{t}dt'\, f(t'),$$

ou bien

$$\dot{y}=g(y)\rightarrow t(y)=\int ^{y}dy'/g(y').$$

5.2.2 Séparation des variables $\dot{y}=f(t,y)=\phi (t)/\psi (y)\protect$:

On peut tirer la fonction $y(t)$ par l'égalité entre deux fonctions connues par intégration de $\psi (y)dy=\phi (t)dt$

$$\int ^{y}dy'\, \psi (y')=\int ^{t}dt'\, \phi (t')$$

5.2.3 Equation homogène $\dot{y}=f(t,y)=\phi (y/t)\protect$:

C'est une équation invariante sous $y\rightarrow \alpha y$; $t\rightarrow \alpha t$ (multiplication de $y$ et $t$ par la même constante). Posant comme nouvelle inconnue $u(t)=y(t)/t$, on a

$$\dot{y}=u+t\dot{u}=\phi (u)$$

$$\rightarrow \frac{du}{\phi (u)-u}=\frac{dt}{t}$$

ce qui se ramène aux variables séparées.

5.2.4 Equation différentielle exacte $\dot{y}=f(t,y)=-\frac{P(t,y)}{Q(t,y)}\protect$:

Si $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial t$, il existe une fonction $R(t,y)$ telle que $P=\partial R/\partial t$ et $Q=\partial R/\partial y$. L'équation peut se réécrire comme une différentielle exacte:

$$dR(t,y)=P(t,y)dt+Q(t,y)dy=0.$$

Les lignes du plan $(t,y)$ ou cette fonction $R$ est constante en sont donc des solutions. Pour construire la fonction $R$, il suffit de connaître les primitives $p(t,y)=\int ^{t}dt'\, P(t',y)$ et $q(t,y)=\int ^{y}dy'\, Q(t,y')$. La solution de l'équation passant par un point $(t_{0},y_{0})$ satisfait:

$$R(t,y)-R(t_{0},y_{0}) = p(t,y)-p(t_{0},y)+q(t_{0},y)-q(t_{0},y_{0})$$

$$= q(t,y)-q(t,y_{0})+p(t,y_{0})-p(t_{0},y_{0})$$

$$=$$ 0

Remarque   Si $\frac{\partial P}{\partial y}\neq \frac{\partial Q}{\partial t}$, on peut essayer de trouver un facteur intégrant $\mu (t,y)$ tel que $\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial \mu Q}{\partial t}$. Un tel $\mu$ ne change pas l'équation de départ: on aura une solution mais la recherche de ce $\mu$ n'est pas simple en général:

$$% latex2html id marker 16640\begin{array}{ll} P\frac{\part... ...te{\mathrm{e}}\mathrm{aires}\, \mathrm{pour}\, \mu \end{array}$$

5.2.5 Equation linéaire $\dot{y}=g(t)y+h(t)\protect$:

Si $y_{1}(t)$ et $y_{2}(t)$ sont 2 solutions, alors $(y_{1}-y_{2})$ est solution de l'équation homogène (où $h(t)=0$). On cherche donc d'abord la solution générale de cette équation homogène, c'est-à-dire le noyau de l'opérateur différentiel

$$\left[ \frac{d}{dt}-g(t)\right] y_{h}(t)=0$$

$$\rightarrow \frac{dy_{h}}{y_{h}}=g(t)dt$$

$$\rightarrow y_{h}(t)=C\, e^{\int ^{t}_{t_{0}}dt'\, g(t')}$$

Pour trouver une solution particulière $y_{p}(t)$ de l'équation non-homogène (avec $h\not =0$), on cherche sous la forme (méthode de ``variation de la constante''):

$$y_{p}(t)=C(t)\, e^{\int ^{t}_{t_{0}}dt'\, g(t')}$$

$$\rightarrow \dot{y}_{p}=\dot{C}(t)\, e^{\int ^{t}_{t_{0}}dt'\, g(t')}+C(t)g(t)\, e^{\int ^{t}_{t_{0}}dt'\, g(t')}$$

$$\rightarrow \dot{y}_{p}-g(t)y_{p}=\dot{C}(t)\, e^{\int ^{t}_{t_{0}}dt'\, g(t')}=h(t)$$

$$\rightarrow C(t)=\int _{t_{0}}^{t}d\tau \, h(\tau )e^{-\int ^{\tau }_{t_{0}}dt'\, g(t')}$$

La solution générale est donc

$$y(t;y_{0})=y_{0}e^{\int ^{t}_{t_{0}}... ..., g(t')}+\int _{t_{0}}^{t}d\tau \, h(\tau )\, e^{\int ^{t}_{\tau }dt'\, g(t')}]$$ (5.2.1)

dans laquelle $y_{0}$ est la valeur (arbitraire) de la solution en $t=t_{0}$.

5.2.6 Equation de Lagrange $y=tg(\dot{y})+h(\dot{y})\protect$:

c'est une équation résolue en $y$ au lieu de $\dot{y}$. Posons $p(t)=\dot{y}(t)$, et dérivons les deux membres de l'équation de départ par rapport à $t$. On obtient (avec les notations $g'(p)=dg/dp$ et $h'(p)=dh/dp$, deux fonctions connues de $p$):

$$p=g(p)+[t(p)g'(p)+h'(p)]\frac{dp}{dt}$$ (5.2.2)

$$\rightarrow \frac{dt}{dp}=\frac{t(p)g'(p)+h'(p)}{g(p)-p}$$ (5.2.3)

Ceci est une équation linéaire en la fonction inconnue $t(p)$, que l'on peut résoudre par la méthode générale vue plus haut (5.2.1). On obtient la solution générale $t(p;t_{0})$, où $t_{0}$ est la valeur prise en un point $p_{0}$ fixé arbitrairement. La courbe intégrale $y(t)$ du problème de départ s'obtient alors sous forme paramétrique: lorsqu'on varie $p=\dot{y}$, la coordonnée $y$ varie en vertu de l'équation de départ comme

$$y=t(p;t_{0})g(p)+h(p)$$

tandis que la coordonnée $t$ varie comme la solution de l'équation homogène:

$$t=t(p;t_{0})$$

En variant $p_{0}$, on peut ajuster la valeur de la fonction $y(t_{0})=y_{0}=t_{0}g(p_{0})+h(p_{0})$ au point $t=t_{0}$ fixé.

5.2.7 Equation de Clairaut $y=t\dot{y}+h(\dot{y})\protect$:

c'est le cas particulier de Lagrange où la fonction $g(p)=p$. En vertu de (5.2.2), on a donc nécessairement $dp/dt=0$ et $p(t)$ est une constante $p_{c}$ indépendante de $t$. Par conséquent, la solution générale est une famille de droites

$$y(t)=p_{c}t+h(p_{c})$$

où pour chaque coefficient directeur $p_{c}$, l'ordonnée à l'origine est dictée par la fonction $h(p_{c})$. Il faut remarquer que si $h$ n'est pas linéaire, il peut y avoir des points $(t_{0},y_{0})$ par lesquels aucune courbe intégrale ne passe, ou au contraire, en lesquels plusieurs courbes se croisent. Exemple: si $h(p)=p^{2}$, il n'y aura aucune solution réelle par le point $(0,-1)$, mais deux droites de pente $\pm 1$ passant par $(0,1)$. Ceci découle de ce que l'équation ramenée sous forme normale fait intervenir une fonction ayant deux branches (non univalue):

$$\dot{y}=-\frac{t}{2}\pm \sqrt{\frac{t^{2}}{4}+y}$$

5.2.8 Equation harmonique $\dot{y}=g(\frac{at+by+c}{a't+b'y+c})\protect$:

cette équation fait intervenir deux droites dans le plan $(t,y)$:

$$D \equiv at+by+c=0$$

$$D' \equiv a't+b'y+c'=0$$

Il y a donc deux cas à envisager. Si les droites se croisent en un point $(t_{0},y_{0})$ que l'on peut facilement déterminer en fonction des constantes $a,b,c,a',b',c'$, on se ramène à une équation homogène en passant aux variables

$$\left\{ \begin{array}{c} T=t-t_{0}\\ Y=y-y_{0} \end{array}\right.$$

$$\rightarrow \frac{dY}{dT}=g\left( \frac{aT+bY}{a'T+b'Y}\right) =g\left( \frac{a+bY/T}{a'+b'Y/T}\right)$$

Si par contre les droites sont parallèles, on doit avoir $a'/a=b'/b=\lambda$. On peut alors poser $z(t)=at+by(t)$ comme nouvelle fonction inconnue. Prenant sa dérivée:

$$\dot{z}=a+b\dot{y}=a+bg\left( \frac{z+c}{\lambda z+c'}\right)$$

on retrouve une équation à variables séparées (indépendante de $t$)