6.1 Problème de Sturm-Liouville

On prend une équation linéairement indépendante et homogène du second degré, sous la forme:

$$L[y]\doteq \frac{d}{dt}\left[ \mu (t)\frac{d}{dt}y\right] +\mu q(t)=-\lambda p(t)y(t)$$

avec $\left\{ \begin{array}{l} \mu (t),q(t)\textrm{ et ... ...extrm{elles et continues sur }[a,b]\\ \mu (t)>0,\, p(t)>0 \end{array}\right.$

Remarque   Partant de la forme canonique $\ddot{y}+p\dot{y}+qy=0;$ $\mu =\exp \int\limits _{t_{0}}^{t}dt'\, p$

$\Rightarrow$ la restriction à $\mu >0$ équivaut à pas de point singulier dans $[a,b]$

On cherche une solution non triviale ($y\neq 0$) pour les CL (conditions aux limites) mixtes homogènes: $\left\{ \begin{array}{l} \cos \theta _{a}y(a)+\si... ...(a)=0\\ \cos \theta _{b}y(b)+\sin \theta _{b}\dot{y}(b)=0 \end{array}\right.$

Les valeurs de $\lambda$ (paramètre complexe) pour lesquelles c'est possible sont des valeurs propres, et les $y(t)\neq 0$ associées sont des fonctions propres. L'ensemble des valeurs propres constitue le spectre de $L$ pour ces CL, il est généralement discret.

Exemple   Pour $\mu =p=1$ et $q=0$ on une équation différentielle de la forme: $L[y]=\ddot{y}$

• Dirichlet: $\left\{ \begin{array}{l} y(0)=0\\ y(\pi )=0 \end{array}\right. \Rightarrow \sin kt;\, \lambda =+k^{2}$ avec $k=1,2,\cdots$
• Mixte: $\left\{ \begin{array}{l} \dot{y}(0)=0\\ y(\pi )... ...os \left( k+\frac{1}{2}\right) t;\, \lambda =+\left( k+\frac{1}{2}\right) ^{2}$ avec $k=0,1,\cdots$
• Neumann: $\left\{ \begin{array}{l} y(0)=0\\ y(\pi )=0 \end{array}\right. \Rightarrow \sin kt;\, \lambda =+k^{2}$ avec $k=0,1,\cdots$