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6.1 Problème de Sturm-Liouville

On prend une équation linéairement indépendante et homogène du second degré, sous la forme:

$\displaystyle L[y]\doteq \frac{d}{dt}\left[ \mu (t)\frac{d}{dt}y\right] +\mu q(t)=-\lambda p(t)y(t)$

avec % latex2html id marker 17506
$ \left\{ \begin{array}{l}
\mu (t),q(t)\textrm{ et ...
...extrm{elles et continues sur }[a,b]\\
\mu (t)>0,\, p(t)>0
\end{array}\right. $

Remarque   Partant de la forme canonique $ \ddot{y}+p\dot{y}+qy=0; $ % latex2html id marker 17510
$ \mu =\exp \int\limits _{t_{0}}^{t}dt'\, p $

$ \Rightarrow $ la restriction à $ \mu >0 $ équivaut à pas de point singulier dans $ [a,b] $

On cherche une solution non triviale ($ y\neq 0 $) pour les CL (conditions aux limites) mixtes homogènes: % latex2html id marker 17520
$ \left\{ \begin{array}{l}
\cos \theta _{a}y(a)+\si...
...(a)=0\\
\cos \theta _{b}y(b)+\sin \theta _{b}\dot{y}(b)=0
\end{array}\right. $

Les valeurs de $ \lambda $ (paramètre complexe) pour lesquelles c'est possible sont des valeurs propres, et les $ y(t)\neq 0 $ associées sont des fonctions propres. L'ensemble des valeurs propres constitue le spectre de $ L $ pour ces CL, il est généralement discret.

Exemple   Pour $ \mu =p=1 $ et $ q=0 $ on une équation différentielle de la forme: $ L[y]=\ddot{y} $



2000-10-06