6 Problèmes aux bords

Jusqu'ici, on s'était intéressé à des problèmes de Cauchy (ie: CI): $\left\{ \begin{array}{l} y(t_{0})=c_{1}\\ \dot{y}(t_{o})=c_{2} \end{array}\right.$

On va regarder:

• $\left\{ \begin{array}{l} y(a)=c_{1}\\ y(b)=c_{2} \end{array}\right.$(problème de Dirichlet)
• $\left\{ \begin{array}{l} \dot{y}(a)=c_{1}\\ \dot{y}(b)=c_{2} \end{array}\right.$(problème de Neuman)
• $\left\{ \begin{array}{l} \cos \theta _{a}y(a)+\si... ...}\\ \cos \theta _{b}y(b)+\sin \theta _{b}\dot{y}(b)=c_{2} \end{array}\right.$(problème mixte)

Exemple   Applications physiques:

• Corde vibrante:
  
  $$% latex2html id marker 17492\begin{array}{ll} \textrm{extr... ...extrm{ }y'=-k_{a}y & \leftrightarrow \textrm{mixte} \end{array}$$

• Problèmes ballistiques, rendez-vous spatiaux,$\cdots$

Problème

Même si $c_{1}=c_{2}\equiv 0,$ la solution n'est pas nécessairement unique $y\equiv 0.$ On peut en effet prendre par exemple: $\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} \ddot{... ...\\ y(0)=y(\pi )=0 \end{array}\right. & \Rightarrow y=c\sin k\pi \end{array}$

Il y a donc une différence fondamentale avec les problèmes de Cauchy où on avait un théorème d'unicité. C'est une différence TRÈS féconde grâce au théorème de développement (Fourier généralisé).