6.2 Fonction de Green

Si $y$ et $z$ sont des fonctions $\dot{y},L[y]\in C^{0}[a,b]$:

$$\frac{d}{dt}\left[ \mu \underbrace{(y\dot{z}-z\dot{y})}_{W_{2}(y,z;t)}\right] =yL[z]-zL[y]+\mu (\dot{y}\dot{z}-\dot{z}\dot{y})-\mu q(yz-zy)$$

$$\rightarrow [\mu W_{2}(y,z;t)]_{a'}^{b'}=\int _{a'}^{b'}dt\, (yL[z]-zL[y])\qquad \textrm{Formule de Green}$$

avec $a\leq a'\leq b'\leq b$

Conséquences

 

• Si $y$ et $z$ satisfont aux mêmes CL, alors $W_{2}(y,z;a)=W_{2}(y,z;b)=0$
  et $\int _{a}^{b}dt\, yL[z]=\int _{a}^{b}dt\, zL[y]$
  
  $$\Rightarrow y(-z\tan \theta _{a})-z(-y\tan \theta _{a})=\tan \theta _{a}(-yz+zy)=0$$
  En posant $z=\psi ^{\ast }$ et comme $L[\psi ^{\ast }]=(L[y])^{\ast },$ on a $\langle L[y],y\rangle =\langle \psi ,Ly\rangle$ et donc $L$ est hermitien.
• Si $\left\{ \begin{array}{l} L[y_{1}]=0;\quad \cos \t... ...d \cos \theta _{b}y_{2}(b)+\sin \theta _{b}\dot{y}_{2}(b)=0 \end{array}\right.$ alors $\mu (t)W_{2}(y_{1},y_{2};t)=C=Cte$
  
  $$\rightarrow \begin{array}{ll} \boxed... ...y}\right. }& \textrm{Fonction de Green pour }L[y],\textrm{ avec CL} \end{array}$$

Propriétés

 

• $G(t,\tau )=G(\tau ,t)$ (par symétrie)
• Continue pour tout $a\leq t,\tau \leq b;\, L_{t}[G(t,\tau )]=0$ $\forall t\neq \tau$
• $\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\frac{d}{d\epsilon }\left[ G(\tau +\epsilon ,\ta... ...}(\tau )\dot{y}_{2}(\tau +\epsilon )-\dot{y}_{1}(\tau -\epsilon )y_{2}(\tau ))$
  
  $$% latex2html id marker 17592\begin{array}{l} =-\frac{1}{\m... ...\tau )))=\boxed{L_{t}[G(t,\tau )]=-\delta (t-\tau )}\end{array}$$
  $G(t,\tau )$ est la matrice ``inverse'' de l'opérateur $L$ (qui possède des valeurs propres nulles: on les enlève par les CL pour inverser)

Application

Problème non-homogène.

$$\left\{ \begin{array}{l} L[y]=-g(t)\... ...rrow y(t)=\int _{a}^{b}d\tau \, G(t,\tau )g(\tau )\qquad \textrm{est solution}.$$

Preuve. $L[y](t)=\int _{a}^{b}d\tau \, \underbrace{L_{t}[G(t,\tau )]}_{-\delta (t-\tau )}g(\tau )=-g(t)$ ce qui démontre la partie ``nécessaire''. On a la formule de Green avec $z(t)=G(t,\tau )$ (on a en effet $[\mu W_{2}]_{a}^{b}=0$ car on a les mêmes CL) pour démontrer la partie ``suffisante''. $\qedsymbol$

Analogie

$\frac{1}{\vert r-r'\vert}$ est la fonction de Green du laplacien scalaire $\Delta$

$$\rightarrow \Delta _{r}V(r)=\rho (r)... ...w V(\vec{r})=\int d^{3}r'\, \frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert}\rho (\vec{r}')$$

La fonction de Green est la réponse à une source ponctuelle $\delta .$

Exemple   Si $L=\frac{d^{2}}{dt^{2}}$

• $\begin{array}{ll} y(0)=y(1)=0 & G(t,\tau )=\left\... ...-\tau ) & t<\tau \\ \tau (1-t) & t\geq \tau \end{array}\right. \end{array}$
• $\begin{array}{ll} y(0)=\dot{y}(1)=0 & G(t,\tau )=... ...{array}{ll} t & t<\tau \\ \tau & t\geq \tau \end{array}\right. \end{array}$

6.2.1 Forme intégrale de Sturm-Liouville

On prend $g(t)=\lambda \rho (t)y(t)$ d'où $L[y]=-\lambda \rho y\Leftrightarrow \int ^{b}_{a}d\tau \, G(t,\tau )\rho (\tau )y(\tau )=\frac{1}{\lambda }y(t)$

On pose $z=\sqrt{\rho }y$; $K(t,\tau )=\sqrt{\rho (t)}G(t,\tau )\sqrt{\rho (\tau )}=K(\tau ,t)=K^{\ast }(t,\tau )$

d'où:

$$% latex2html id marker 17633\begin{array}{ll} \rightarrow ... ...\textrm{grale},\textrm{ noyau }K\textrm{ hermitien} \end{array}$$

`` $Kz=\frac{1}{\lambda }z$'' est une notation abrégée pour dire que l'opérateur $K$ est hermitien.

Propriétés

 

• $K$ est hermitien par rapport au produit scalaire:
  $\langle Kf,g\rangle =\langle f,Kg\rangle =\int _{a}^{b}dtd\tau \, f^{\ast }(t)K(t,\tau )g(\tau )$
• Réalité des valeurs propres: si $K\varphi =\frac{1}{\lambda }\varphi$ alors $\langle K\varphi ,\varphi \rangle =\langle \varph... ... hermitien}}=\frac{1}{\lambda }\langle \varphi ,\varphi \rangle \in \mathbb{R}$.
• Orthogonalité des sous-espaces propres associés à des vleurs propres différentes.
  $\left\{ \begin{array}{l} K\varphi _{i}=\frac{1}{\lambda _{i}}\varphi _{i}\\ ... ...\varphi _{i},\varphi _{j}\rangle -\langle \varphi _{i},K\varphi _{j}\rangle =0$
  
  $$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \langle \varphi _{i},\varphi... ...ngle =0\\ \quad \textrm{ou}\\ \lambda _{i}=\lambda _{j} \end{array}\right.$$

• Il existe au plus une infinité de valeurs propres, sans point d'accord autre que $\lambda \rightarrow \pm \infty .$ On peut orthonormaliser les fonctions propres correspondantes: $\langle \varphi _{i},\varphi _{j}\rangle =\delta _{ij}$
• Théorème du développement d'Hilbert-Schmidt: Si $f(t)\in C^{0}_{[a,b]}$ alors $z=Kf$ possède un développement à convergence uniforme sur les $\varphi _{i}$:
  
  $$\sum _{j=1}^{N}\langle \varphi _{j},... ...xtrm{ quand }N\rightarrow \infty }z(t)=\int _{a}^{b}d\tau \, K(t,\tau )f(\tau )$$

Remarque   Les fonctions propres $y_{i}$ de $L[y_{i}]=\lambda _{i}y_{i}$ ont un produit scalaire $\langle \varphi _{i},\varphi _{j}\rangle =\langle... ...},\sqrt{\rho }y_{j}\rangle _{\rho }=\int _{a}^{b}dt\, \rho (t)y_{i}(t)y_{j}(t)$

 

Remarque   Seules les fonctions $z=Kf=$ image de $f$ par $K$ sont développables. Si $K$ ne contient que $3$ vecteurs propres, (noyau dégénéré), ça marche trivialement.

6.2.2 Série de Fourier généralisée

Si $z=Kf=(\sqrt{\rho }G\sqrt{\rho })f=\sqrt{\rho }y$ alors $y=Gg$ avec $g=\sqrt{\rho }f$

Donc si $y$ solution de $L[y]=-\nu$ avec des CL déterminées et $\nu \in C_{[a,b]}^{0}$ alors: $\sum\limits _{i=1}^{N}\langle y_{i},y\rangle _{\rho }y_{i}(t)$ convergeras uniformément vers $y(t)$.

Remarque   Ceci n'impose presqu'aucune restriction sur $y$: connaissant $y$, je peux calculer $L[y]=-\nu$ qui doit être simplement $C^{0}$!

$\Rightarrow$ Il suffit que $y\in C^{0}_{[a,b]}$

Ceci s'applique aussi aux polynômes orthogonaux et aux fonctions de Bessel.