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Sous-sections

6.2 Fonction de Green

Si $ y $ et $ z $ sont des fonctions $ \dot{y},L[y]\in C^{0}[a,b] $:

$\displaystyle \frac{d}{dt}\left[ \mu \underbrace{(y\dot{z}-z\dot{y})}_{W_{2}(y,z;t)}\right] =yL[z]-zL[y]+\mu (\dot{y}\dot{z}-\dot{z}\dot{y})-\mu q(yz-zy)$

% latex2html id marker 17556
$\displaystyle \rightarrow [\mu W_{2}(y,z;t)]_{a'}^{b'}=\int _{a'}^{b'}dt\, (yL[z]-zL[y])\qquad \textrm{Formule de Green}$

avec $ a\leq a'\leq b'\leq b $

Conséquences
 
Propriétés
 
Application
Problème non-homogène.

% latex2html id marker 17598
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
L[y]=-g(t)\...
...rrow y(t)=\int _{a}^{b}d\tau \, G(t,\tau )g(\tau )\qquad \textrm{est solution}.$

Preuve. % latex2html id marker 17603
$ L[y](t)=\int _{a}^{b}d\tau \, \underbrace{L_{t}[G(t,\tau )]}_{-\delta (t-\tau )}g(\tau )=-g(t) $ ce qui démontre la partie ``nécessaire''. On a la formule de Green avec $ z(t)=G(t,\tau ) $ (on a en effet $ [\mu W_{2}]_{a}^{b}=0 $ car on a les mêmes CL) pour démontrer la partie ``suffisante''. $ \qedsymbol$

Analogie
$ \frac{1}{\vert r-r'\vert} $ est la fonction de Green du laplacien scalaire $ \Delta $

% latex2html id marker 17613
$\displaystyle \rightarrow \Delta _{r}V(r)=\rho (r)...
...w V(\vec{r})=\int d^{3}r'\, \frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert}\rho (\vec{r}')$

La fonction de Green est la réponse à une source ponctuelle $ \delta . $

Exemple   Si $ L=\frac{d^{2}}{dt^{2}} $

6.2.1 Forme intégrale de Sturm-Liouville

On prend $ g(t)=\lambda \rho (t)y(t) $ d'où % latex2html id marker 17627
$ L[y]=-\lambda \rho y\Leftrightarrow \int ^{b}_{a}d\tau \, G(t,\tau )\rho (\tau )y(\tau )=\frac{1}{\lambda }y(t) $

On pose $ z=\sqrt{\rho }y $; $ K(t,\tau )=\sqrt{\rho (t)}G(t,\tau )\sqrt{\rho (\tau )}=K(\tau ,t)=K^{\ast }(t,\tau ) $

d'où:

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 17633\begin{array}{ll}
\rightarrow ...
...\textrm{grale},\textrm{ noyau }K\textrm{ hermitien}
\end{array}\end{displaymath}

`` $ Kz=\frac{1}{\lambda }z $'' est une notation abrégée pour dire que l'opérateur $ K $ est hermitien.

Propriétés
 

Remarque   Les fonctions propres $ y_{i} $ de $ L[y_{i}]=\lambda _{i}y_{i} $ ont un produit scalaire % latex2html id marker 17667
$ \langle \varphi _{i},\varphi _{j}\rangle =\langle...
...},\sqrt{\rho }y_{j}\rangle _{\rho }=\int _{a}^{b}dt\, \rho (t)y_{i}(t)y_{j}(t) $

 

Remarque   Seules les fonctions $ z=Kf= $ image de $ f $ par $ K $ sont développables. Si $ K $ ne contient que $ 3 $ vecteurs propres, (noyau dégénéré), ça marche trivialement.

6.2.2 Série de Fourier généralisée

Si $ z=Kf=(\sqrt{\rho }G\sqrt{\rho })f=\sqrt{\rho }y $ alors $ y=Gg $ avec $ g=\sqrt{\rho }f $

Donc si $ y $ solution de $ L[y]=-\nu $ avec des CL déterminées et $ \nu \in C_{[a,b]}^{0} $ alors: $ \sum\limits _{i=1}^{N}\langle y_{i},y\rangle _{\rho }y_{i}(t) $ convergeras uniformément vers $ y(t) $.

Remarque   Ceci n'impose presqu'aucune restriction sur $ y $: connaissant $ y $, je peux calculer $ L[y]=-\nu $ qui doit être simplement $ C^{0} $!

$ \Rightarrow $ Il suffit que $ y\in C^{0}_{[a,b]} $

Ceci s'applique aussi aux polynômes orthogonaux et aux fonctions de Bessel.


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2000-10-06