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Sous-sections
Si et sont des fonctions
:
avec
- Conséquences
-
- Propriétés
-
- Application
- Problème non-homogène.
Preuve.
ce qui démontre la partie ``nécessaire''. On a la formule de Green avec
(on a en effet
car on a les mêmes CL) pour démontrer
la partie ``suffisante''.
- Analogie
-
est la fonction de Green du laplacien scalaire
La fonction de Green est la réponse à une source ponctuelle
Exemple
Si
On prend
d'où
On pose
;
d'où:
``
'' est une notation abrégée pour dire que l'opérateur
est hermitien.
- Propriétés
-
Remarque
Les fonctions propres
de
ont
un produit scalaire
Remarque
Seules les fonctions
image de
par
sont développables.
Si
ne contient que
vecteurs propres, (noyau dégénéré), ça
marche trivialement.
Si
alors
avec
Donc si solution de avec des CL déterminées et
alors:
convergeras
uniformément vers .
Remarque
Ceci n'impose presqu'aucune restriction sur
: connaissant
,
je peux calculer
qui doit être simplement
!
Il suffit que
Ceci s'applique aussi aux polynômes orthogonaux et aux fonctions de Bessel.
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2000-10-06