7.2 Séparation des variables

On essaie de trouver un $z(\vec{x})$ de la forme:

$$% latex2html id marker 17821\begin{array}{ll} z(\vec{x}) &... ...(\vec{x})\cdot \frac{z_{i}'''(x_{i})}{z_{i}(x_{i})} \end{array}$$

$L[z]=0$ aura une solution à séparation de variables si: (restrictions sur $L$)

$$\left\{ \begin{array}{lll} p(\vec{x}... ...i}(\vec{x}) & =r(\vec{x})k_{i}(x_{i}) & p_{i\neq j\neq k}=0 \end{array}\right.$$

d'où $$L[z]=r(\vec{x})z(\vec{x})\sum ^{n}_{i=1}\underbrace{\left( f_{i}... ...{1}{z_{i}(x_{i})}L_{i}[z_{i}]=\textrm{fonction de }x_{i}\textrm{ seulement}}=0$$

Pour chaque $i$, on doit avoir:

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{z_{i}}L_{i}[z_{i}]=\lambda _{i}=cte_{i}\\ \sum ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=0 \end{array}\right.$$

$\Rightarrow$ Pour chaque variable, on a une équation différentielle aux valeurs propres:

$$L_{i}[z_{i}]=f_{i}z_{i}+g_{i}z_{i}'+h_{i}z_{i}''+\cdots =\lambda _{i}z_{i}(x_{i})$$

Exemple   $L[z(x,y)]=\left( \partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+k^{2}\right) z(x,y)$ $\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} r=h_{x}=h_{y}=1\\ f_{x}=k^{2}\: ,\; f_{y}=0 \end{array}\right.$

$$\left\{ \begin{array}{l} z(x,y)=z_{x... ...xtrm{ }k^{2}_{x}+k^{2}_{y}=k^{2}-\left( \lambda _{x}+\lambda _{y}\right) =k^{2}$$

d'où $\boxed{z(x,y)=e^{i\left( k_{x}x+k_{y}y\right) }}$ avec toujours $k^{2}_{x}+k^{2}_{y}=k^{2}$.

Remarque   Pour que les conditions aux limites soient séparables, il faut pouvoir les écrire en termes des $z_{i}(x_{i})$. Comme par exemple: $z(0,y)=0\Leftrightarrow z_{\alpha }(0)=0$.