7.3 EDPL du premier ordre

$$\displaystyle L[z]=\sum _{i=1}^{n}p_{i}(\vec{x})\partial _{i}z+p(... ...0\qquad (\acute{\textrm{E}}\textrm{quation homog}\grave{\textrm{e}}\textrm{ne})$$

Prenons $p(\vec{x})=0$ pour commencer.

Astuce

Si $\vec{x}(t)$ est une courbe dans l'espace $\vec{x}$, dépendant d'un paramètre $t,$ et qu'on connaît $z(\vec{x}),$ alors: $\frac{d}{dt}z\left( \vec{x}(t)\right) =\frac{dx_{i}}{dt}\partial _{i}z\left( \vec{x}(t)\right)$. On applique la définition de la dérivée pour une fonction de fonction.

Définition   Une courbe caractéristique de $L$ est une solution de:

$$\frac{dx_{i}(t)}{dt}=p_{i}\left( \vec{x}(t)\right) \, \forall i=1,\ldots ,n$$

Remarque   On peut éliminer $dt$: $\frac{dx_{1}}{p_{1}}=\frac{dx_{2}}{p_{2}}=\cdots =\frac{dx_{n}}{p_{n}}=dt$

Fait   $L[z]=0\Leftrightarrow z(\vec{x})$ est une constante le long de chaque caractéristique.

Définition   Une surface de Cauchy à $(n-1)$ dimensions coupe toutes les caractéristiques $1$ seule fois.

Utilité

$L[z]=0$ possède une solution unique prenant des valeurs arbitraires données sur une surface de Cauchy donnée.

Exemple   $L[z(x,y)]=\left[ y\partial _{x}+x\partial _{y}\right] z$

Courbes caractéristiques: (pas de $t$) $\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}$, d'où: $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}-y^{2}=\left( x^{2}_{0}-y^{2}_{0}\right) \\ z=z(x^{2}-y^{2}) \end{array}\right.$

Surfaces de Cauchy: $xy=b$, on peut prendre par exemple $b=1$ et comme C.I.:

$$z\left( x,\frac{1}{x}\right) =f(x).$$

D'où:

$$z(x,y)=f\left( \textrm{signe}(x+y)\sqrt{\frac{x^{2}-y^{2}}{2}+\sqrt{1+\left( \frac{x^{2}-y^{2}}{2}\right) }}\right)$$

On s'intéresse maintenant au cas général, c'est-à-dire si $p(\vec{x})\neq 0$ : le long de la caractéristique, on n'a plus $z=cte$ mais:

$$\frac{dz}{dt}=-p\left( \vec{x}(t)\right)$$

On obtient $z$ par l'équation: $z(t)=\exp \left( -\int ^{t}_{t_{0}}\! dt'\, p\left( \vec{x}(t')\right) \right)$, ce qui est un peu plus compliqué à effectuer.