7.4 EDPL du second ordre: courbes caractéristiques

$$% latex2html id marker 17913\begin{array}{lr} L[z]=\left[ ... ...textrm{quation homog}\grave{\textrm{e}}\textrm{ne}) \end{array}$$

Pour simplifier, prenons $n=2.$

Question

Quelles sont les conditions initiales?

Essayons de donner $z(x_{1},x_{2})$ sur courbe $\Gamma$ et voyons ce qui manque. On connaît la dérivée tangentielle le long de la courbe $\Gamma$:

$$\frac{dz\left( x_{1}(t),x_{2}(t)\rig... ...\frac{dx_{2}}{dt}\doteq \partial _{t}z\, \sqrt{\dot{x}^{2}_{1}+\dot{x}_{2}^{2}}$$

Donnons-nous $z$ et $\partial _{n}z$ sur $\Gamma$: on connaît alors $z,\partial _{1}z\textrm{ et }\partial _{2}z$ sur $\Gamma .$

Intéressons maintenant aux dérivées d'ordre $2$; on en connaît $2$ sur $3$: $\partial _{t}\partial _{1}z$ et $\partial _{t}\partial _{2}z$. Pour la $3^{\grave{e}me}$, on peut essayer d'utiliser l'équation homogène:

$$% latex2html id marker 17947\begin{array}{lr} \underbrace{... ...tion homog}\grave{\textrm{e}}\textrm{ne} \end{array}\end{array}$$

$\rightarrow$ Possible si $A$ est réversible, c'est-à-dire: $\det A=p_{11}\dot{x}^{2}_{2}-2p_{12}\dot{x}_{1}\dot{x}_{2}+p_{22}\dot{x}_{1}^{2}\neq 0$

$$% latex2html id marker 17955\begin{array}{ll} \Leftrightar... ...ion aux caract}\acute{\textrm{e}}\textrm{ristiques} \end{array}$$

$\rightarrow \, 2$ ED: en chaque point du plan $(x_{1},x_{2}),$ on a une valeur dangereuse de $\frac{dx_{2}}{dx_{1}}$

$\rightarrow \, 2$ familles de courbes intégrales dans le plan: courbes caractéristiques.

Interprétation

Le déterminant de $A$ est le coefficient de $\partial _{n}\partial _{x}z$ dans l'équation homogène.
Si $\det A\neq 0,$ on peut alors toujours exprimer sur $\Gamma$:

$$\left( \partial _{n}\right) ^{k}z=\f... ...\acute{\textrm{e}}\textrm{rieures ou tangentielles}}_{\textrm{connues}}\right)$$

$$% latex2html id marker 17975\begin{array}{ll} \boxed{\begi... ...obl}\grave{\textrm{e}}\textrm{me de }\bold {Cauchy} \end{array}$$