7.5 Équations hyperboliques

Pour $n=2$, on a $2$ courbes caractéristiques différentes par chaque point $\left( x^{0}_{1},x^{0}_{2}\right)$:

$$\left\{ \begin{array}{l} x_{+}(x_{1},x_{2})=cte=x_{+}\left( x^{0}... ..._{2})=cte=x_{-}\left( x^{0}_{1},x^{0}_{2}\right) =x_{-}^{0} \end{array}\right.$$

En faisant le changement de variables $(x_{1},x_{2})\longrightarrow (x_{+},x_{-})$ on peut montrer que:

$$% latex2html id marker 17989\begin{array}{ll} L[z]=\partia... ...+p'(x_{+},x_{-})z=0 & \qquad \textrm{Forme normale} \end{array}$$

Supposons $p_{+}=p_{-}=p'=0,$ et faisons un autre changement de variables:

$$\left\{ \begin{array}{l} x_{\pm }=x\pm t\\ \partial _{\pm }=\fr... ...x}=\frac{1}{2}\left( \partial _{x}\pm \partial _{t}\right) \end{array}\right.$$

On a alors $L$ qui s'exprime sous la forme: $L[z]=\frac{1}{4}\left( \partial _{t}+\partial _{+}\left) \right( -\partial _{t}+\partial _{x}\right) z$

$$% latex2html id marker 17999\begin{array}{ll} \boxed{L[z]=... ... \acute{\textrm{E}}\textrm{quation d}'\textrm{onde} \end{array}$$

SGEH

$z(x,t)=f_{+}(x+t)+f_{-}(x-t)$

Condition de Cauchy

Si on se donne:

$$\left\{ \begin{array}{ll} z(x,t=0)=\... ...textrm{ristique})\\ \partial _{t}z(x,t=0)=\varphi _{2} & \end{array}\right.$$

$\rightarrow$ on peut déterminer $f_{\pm }$ en termes de C.I.:

$$% latex2html id marker 18009\begin{array}{ll} \displaystyl... ...{x_{0}}\! dx'\varphi _{2}(x')=f_{+}(x)-f_{-}(x)-Cte \end{array}$$

d'où:

$$% latex2html id marker 18011\begin{array}{l} \displaystyle... ...+\frac{1}{2}\int ^{x+t}_{x-t}dx'\, \varphi _{2}(x')}\end{array}$$

Fonction de Green ``retardée''

$\boxed{G\left( x_{+},x_{-};x_{+}^{0},x^{0}_{-}\ri... ... =-\theta \left( x_{+}-x^{0}_{+}\right) \theta \left( x_{-}-x^{0}_{-}\right) }$
Solution de $\left\{ \begin{array}{ll} L[G]=-\delta \left( x_{... ..._{0}) & \\ \forall t<t_{0}\, :\, G,\, \partial _{t}G=0 & \end{array}\right.$
Effet d'une force extérieure localisée en $(x_{0},t_{0})$ sur une corde initialement au repos (marteau de piano$\ldots )$. N'a d'effet qu'à l'intérieur du cône futur (causalité).

7.5.1 Problème mixte

$$% latex2html id marker 18023\begin{array}{ll} \left\{ \beg... ...t)\\ z(x=L,t) & =\psi _{2}(t) \end{array}\right. \end{array}$$

Exemple   corde vibrante à extrêmités fixes: $\psi _{1}=\psi _{2}=0$.

Solution: on développe sur une base des solutions de l'opérateur spatial (Fourier).

On obtient la SGEH par superposition (Sturm-Liouville)

Unicité de la solution

$z_{1},z_{2}$ sont deux solutions différentes avec les mêmes $f,\psi _{1,2}$ et $\varphi _{1,2}$. Par superposition, on peut alors construire une troisième solution $z_{3}$ telle que: $z_{3}=z_{1}-z_{2}$ pour laquelle on a $f=\psi _{1,2}=\varphi _{1,2}=0.$ Pour montrer que $z_{3}\equiv 0,$ on construit l'énergie conservée d'une solution de l'équation homogène:

$$% latex2html id marker 18041\begin{array}{ll} \displaystyl... ... _{t}z=0\textrm{ pour }x=0,L \end{array}}\\ & =0 \end{array}$$

Si de plus $\varphi _{1}=\varphi _{2}=0$ alors $E(t\neq 0)=0$ et $\partial _{t}z_{3}=\partial _{x}z=0$ donc $z_{3}=Cte$. Or d'après les conditions aux bords, $z_{3}(0,t)=z_{3}(L,t)=0$ donc $z_{3}\equiv 0.$

7.5.2 Problème au bord

$$\left\{ \begin{array}{l} z(x=0,t)=\psi _{0}(t)\\ z(x=L,t)=\psi ... ...)\\ z(x,t=0)=\varphi _{0}(x)\\ z(x,t=T)=\varphi _{T}(x) \end{array}\right.$$

Il se peu a priori qu'on ne trouve pas de solutions pour des $\psi _{0,L},\varphi _{0,T}$ arbitraires: c'est un problème mal posé.

Preuve. Contre-exemple à partir de SGEH: pour $\tau \in [0,\min (L,T)],$ on a:

$$% latex2html id marker 18066\begin{array}{ll} f_{+}(\tau )... ...{l} L+t\\ \textrm{ou}\\ x+T \end{array}\right. \end{array}$$

$\rightarrow$ incompatible (par exemple si $L=T$) $\qedsymbol$