1.3 Remarques

1. Les $\alpha _{\overrightarrow{n}}$ sont tous positifs, toutes les exponentielles sont donc décroissantes
   $\rightarrow$ problème bien posé: pas d'amplification exponentielle d'une incertitude sur les C.I. (du type ``effet papillon'')
2. $\alpha _{1,1,1}=\alpha _{min}<\alpha _{autres}$: il y a un trou entre la valeur la plus basse de $\alpha$ et la suivante (spectre discret). Ceci vient de ce que $L$ est fini. Grâce à quoi, si on attend suffisament longtemps, est sûr de la forme spatiale de la distribution de température:
   $$\psi \rightarrow c_{1,1,1}\psi _{1,1... ...{2,1,1}-\alpha _{1,1,1}\right) t}\qquad \mathrm{lorsque}\, t\rightarrow \infty$$
   et ce, indépendamment de la condition initiale $\psi _{0}$ (qui ne détermine que $c_{1,1,1}$)
3. Si au lieu de se donner la température au bord, on fixe le flux de chaleur dans la direction normale au bord $\overrightarrow{J}.\overrightarrow{1_{n}}=-K\partial _{n}T$, il faut alors trouver une autre solution particulière $T_{NH}(x,y,z,t)$. On définira ensuite $\psi =T-T_{NH}$ qui sera solution de la même équation avec:
   $$\left\{ \begin{array}{cc} \psi (t=0)... ...mog}\grave{\mathrm{e}}\mathrm{ne}) & \mathrm{C}.\mathrm{B}. \end{array}\right.$$
   $\rightarrow \, \psi _{\overrightarrow{n}}(x,y,z,t... ...pha _{\overrightarrow{n}}t}\cos (k_{n_{x}}x)\cos (k_{n_{y}}y)\cos (k_{n_{z}}z)$ avec $\alpha _{\overrightarrow{n}}$ défini comme précédemment.
   Exemple concret: dans le problème précédant d'une température initiale uniforme, on a $\overrightarrow{J}.\overrightarrow{1_{n}}=\infty$ en $t=0$. Ceci est irréaliste: un bain thermique ne peut extraire plus qu'un certain flux de chaleur maximum $j_{M}$. Dans ce cas, on aura
   $$T_{NH}(x,y,z,t)=T_{0}+j_{M}\left[ x(L-x)+y(L-y)+z(L-z)-6Dt\right]$$
   du moins au début, tant que $t<\frac{T_{0}-T_{B}}{6Dj_{M}}$
4. Si on prolonge $t$ en une variable complexe, que l'on pose $t=-it'$ et que l'on s'intéresse à des valeurs réelles de $t'$ (rotation de Wick), l'équation de la chaleur devient l'équation de Schroedinger pour une particule libre dans un cube:
   $$i\hbar \partial _{t'}\psi -\frac{\hbar ^{2}}{2m}\Delta \psi =0\, \, \, \leftrightarrow \, \, \, D=\frac{\hbar }{2mi}$$
   avec des oscillations temporelles (non amorties à la limite où $t'$ est exactement réel)
   $$e^{-\alpha _{\overrightarrow{n}}t}\, \rightarrow \, e^{i\omega _{\overrightarrow{n}}t'}$$
   $$\mathrm{avec}\quad \omega _{\overrig... ...c{\hbar }{2m}\frac{\pi ^{2}}{L^{2}}\left( n^{2}_{x}+n^{2}_{y}+n^{2}_{z}\right)$$

5. L'équation d'onde
   $$\partial _{t}^{2}\psi -c^{2}\Delta \psi =0,$$
   dans laquelle $c$ est une vitesse de propagation (p.ex. du son), possède des solutions similaires, simplement :
   $$e^{-\alpha _{\overrightarrow{n}}t}\,... ...s (\omega _{\overrightarrow{n}}t)+\tau _{1}\sin (\omega _{\overrightarrow{n}}t)$$
   avec $\omega ^{2}_{\overrightarrow{n}}=c^{2}\overrightarrow{k}^{2}_{\overrightarrow{n_{\alpha }}}$ déterminant les fréquences de résonnances dans une pièce cubique où $c$ est la vitesse du son dans l'air.