1.2 Résolution

1.2.1 Homogénéité des C.B.

Les conditions au bord ne sont pas homogènes: si $T_{1}$ est solution, $\lambda T_{1}$ aura au bord $\lambda T_{B}\neq T_{B}$. On cherche donc d'abord une solution particulière pour ces conditions au bord, par exemple:

$$T_{NH}(x,y,z,t)=T_{B}\, (=cte)$$

On passe ensuite à une nouvelle inconnue:

$$\psi (x,y,z,t)=T(x,y,z,t)-T_{NH}$$

avec $\psi \equiv 0$ au bord du cube $\Rightarrow$ $\lambda \psi =0$ au bord aussi (homogène). Le problème devient donc

$\rightarrow$

$$\partial _{t}\psi -D\Delta \psi =0\q... ...egin{array}{c} \psi (t=0)=\psi _{0}(x,y,z)\\ \psi (bords)=0 \end{array}\right.$$ (1.2.1)

1.2.2 Séparation de variable: $\psi (x,y,z,t)=X(x).Y(y).Z(z).\tau (t)$

On cherche des solutions particulières de cette forme, d'où:

$$\left\{ \begin{array}{c} \partial _{t}\psi =X.Y.Z.\tau '(t)=\psi ... ...\frac{Y''}{Y}\\ \partial ^{2}_{z}\psi =\psi \frac{Z''}{Z} \end{array}\right.$$

Donc l'équation (1.2.1) s'écrit:

$$(-D)\psi (x,y,z,t).\left[ -\frac{1}{... ...{X''}{X}(x)+\frac{Y''}{Y}(y)+\frac{Z''}{Z}(z)\right] =0\quad \forall \, x,y,z,t$$

Comme $D.\psi (x,y,z,t)\neq 0$, et que chaque terme du crochet ne dépend que de sa variable, chacun doit être constant et on a:

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{cc... ...(k^{2}_{x}+k^{2}_{y}+k^{2}_{z})=D.\overrightarrow{k}^{2} & \end{array}\right.$$

1.2.3 Solution générale des 4 équations:

$$\left\{ \begin{array}{cc} \frac{d\ta... ...& \rightarrow \, Z(z)=Z_{0}\cos (k_{z}z)+Z_{1}\sin (k_{z}z) \end{array}\right.$$

1.2.4 Conditions aux bords du cube.

Ces conditions aux bords sont séparables: pour assurer $\psi (x=0,y,z,t)=\psi (x=L,y,z,t)=0$, il suffit par exemple de demander $X(0)=0=X(L)$. Ceci empêche la constante $k_{x}$ de prendre des valeurs continues arbitraires:

• $X(0)=0\, \Rightarrow \, X_{0}=0\, \Rightarrow \, X(x)=X_{1}\sin (k_{x}x)$
• $X(L)=0\, \Rightarrow \, \left\{ \begin{array}{c} ... ..._{x}L)=0\, \rightarrow \, \boxed{k_{x}=\frac{n_{x}\pi }{L}} \end{array}\right.$avec $n_{x}=1,2,3,..$

De même pour $Y$ et $Z$:

• $Y_{0}=0\,$; $\boxed{k_{y}=\frac{n_{y}\pi }{L}}$ avec $n_{y}=1,2,\ldots$
• $Z_{0}=0\,$; $\boxed{k_{z}=\frac{n_{z}\pi }{L}}$ avec $n_{z}=1,2,\ldots$

$\rightarrow$ pour chaque triplet d'entiers $\overrightarrow{n}=(n_{x},n_{y},n_{z})$, on a 1 solution:

$$\psi _{\overrightarrow{n}}(x,y,z,t) = (\tau _{0}X_{1}Y_{1}Z_{1})\, e^{-\alpha _{\overrightarrow{n}}t}\sin (k_{n_{x}}x)\sin (k_{n_{y}}y)\sin (k_{n_{z}}z)$$

$$= c\, e^{-\alpha _{\overrightarrow{n}}t}\sin (k_{n_{x}}x)\sin (k_{n_{y}}y)\sin (k_{n_{z}}z)$$ (1.2.2)

avec $\alpha _{\overrightarrow{n}}=\frac{D\pi ^{2}}{L^{2}}\left( n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)$

Figure: Section dans le plan $(x,y)$ des premières solutions du type (1.2.2).

$\Psi _{1,1,1}(x,y,z=cte,t=0)\sim \sin (x)\sin (y)$	$\Psi _{2,1,1}(x,y,z=cte,t=0)\sim \sin (2x)\sin (y)$
$\Psi _{1,2,1}(x,y,z=cte,t=0)\sim \sin (x)\sin (2y)$	$\Psi _{2,2,1}(x,y,z=cte,t=0)\sim \sin (2x)\sin (2y)$

1.2.5 Conditions initiales: $(t=0)$

Chaque choix de $\left( n_{x},n_{y},n_{z}\right)$ correspond à des conditions initiales $\psi _{0}\left( x,y,z\right)$ différentes. Comme l'équation pour $\psi$ est linéaire et homogène, et que les conditions au bord du cube ($\psi =0$ Cf 1.2.1) sont homogènes, toutes combinaison linéaire

$$\psi =\sum ^{\infty }_{n_{x},n_{y},n_{z}=1}c_{n_{x},n_{y},n_{z}}\psi _{\overrightarrow{n}}\left( x,y,z,t\right)$$

sera également solution pour n'importe quel choix des constantes $c_{\overrightarrow{n}}$ dépendant de 3 indices $n_{x},n_{y},n_{z}$, et correspondra à des conditions initiales différentes. Nous verrons dans le cours les propriétés étonnantes suivantes:

• toute condition initiale (``suffisament gentille'') peut s'écrire de la sorte ( $\rightarrow$ on écrit ``toute'' fonction de 3 variables comme somme de produits de fonctions d'une variable!)
• cette décomposition est unique!

1.2.6 Exemple concret:

Pour une température initiale uniforme $T_{0}$, $\psi _{0}=cte=T_{0}-T_{B}$, nous verrons par série de Fourier que les constantes à prendre sont:

$c_{n_{x},n_{y},n_{z}}=\left\{ \begin{array}{cc} \... ...\mathrm{tous}\, \mathrm{impairs}\\ 0 & \mathrm{autrement} \end{array}\right.$