Système à 2 états: Résonnance et temps longs

On considère un système à 2 états $\vert\phi _{i}\rangle$ et $\vert\phi _{f}\rangle$ d'énergies $E_{i,f}$ données, et possédant une fréquence caractéristique $\omega _{fi}=\omega _{f}-\omega _{i}=(E_{f}-E_{i})/\hbar$. Pour $t>0,$ on applique une perturbation sinusoïdale $\delta H=W\sin \omega t$, où $W\protect$ est un opérateur hermitien dont les éléments de matrices sont arbitraires $W_{ii},W_{ff},W_{if}=W_{fi}^{*}$. On a vu au cours une formule donnant la probabilité de transition pour des temps courts, et on veut ici prendre la limite de temps longs.

1. Écrire les équations couplées d'évolution des composantes $b_{i(f)}(t)=e^{i\omega _{i(f)}t}\langle \phi _{i(f)}\vert\psi (t)\rangle$ d'un état quelconque au cours du temps.
2. Prendre l'approximation résonnante, qui consiste à négliger les termes oscillant rapidement $e^{\pm i\omega t},e^{\pm i(\omega +\omega _{fi})t}$(dont l'intégrale temporelle est $\sim \omega ^{-1},\sim (\omega +\omega _{fi})^{-1}$ ) devant les termes ``séculaires'' lentement variables $e^{\pm i(\omega -\omega _{fi})t}$.
3. Résoudre ces équations approchées pour $\omega =\omega _{fi}$ pour les conditions initiales $b_{i}(t=0)=1,b_{f}(t=0)=0$ en passant à une équation du second ordre pour $b_{i}(t).$
4. Écrire une équation du second ordre pour $b_{i}(t)$ si $\omega \not =\omega _{fi};$ la résoudre, et retrouver la formule de Rabi pour la probabilité de transition.
5. Vérifier que pour des petits temps, on retrouve le résultat perturbatif vu au cours: $P_{if}(t)\sim \vert W_{if}\vert^{2}t^{2}/4\hbar ^{2}$. Que se passe-t-il pour $t>2\hbar /\vert W_{fi}\vert$ ? Pourquoi le résultat perturbatif est-il trop grand?
6. $P_{if}$ atteint un premier maximum pour un temps $t=t_{M}$. Tracer la valeur de ce maximum en fonction de $\omega$ et montrer que c'est une Lorentzienne (courbe de résonnance), avec un facteur de qualité $Q=\hbar \omega _{fi}/\vert W_{fi}\vert$.