Limite semi-classique
(développement en puissances de $\hbar \protect \protect$)

Dans un potentiel $V(x)$ constant à une dimension, l'énergie cinétique classique est constante et l'impulsion aussi. L'équation de Schroedinger

$$i\hbar \partial _{t}\psi (x,t)=H\psi (x,t)=[-\hbar ^{2}\partial ^{2}_{x}\psi /2m+V(x)]\psi (x,t)$$

admet des solutions stationnaires qui sont alors simplement des ondes planes:

$$\psi (x,t)=e^{-iEt/\hbar }\psi (x,E)$$

avec $\psi (x,E)=e^{ipx/\hbar }$ et $p=\pm \sqrt{2m(E-V)}$. Si $V(x)$ varie très lentement tout en restant inférieur à $E$, on s'attend à pouvoir remplacer dans $\psi (x,E)$ la constante $p$ par la valeur locale de l'impulsion classique au point $x$ considéré: $p\rightarrow p(x,E)=\pm \sqrt{2m[E-V(x)]}$. Ceci donne une fonction d'onde semi-classique, dans la mesure où on se donne à la fois la position et l'impulsion classique.

1. Cette fonction d'onde viole-t-elle le principe d'incertitude?
2. Montrer que l'expression correcte est en fait
   $$\psi _{SC}(x,E)=\frac{1}{\sqrt{p(x,E)}}e^{\frac{i}{\hbar }\int ^{x}dx'p(x',E)}\: [1+O(\hbar )]$$
   Pour cela, poser $\psi _{SC}(x,E)\doteq e^{i\sigma (x)/\hbar }$, insérer cette forme dans l'équation de Schroedinger et développer $\sigma (x)=\sigma _{0}(x)+\frac{\hbar }{i}\sigma _{1}(x)+\left( \frac{\hbar }{i}\right) ^{2}\sigma _{2}(x)$ en puissances de $\hbar \protect \protect$. Montrer que le préfacteur $p(x)^{-1/2}$ est nécessaire à une interprétation correcte du courant de probabilité $j_{x}(x,t)=\frac{\hbar }{m}Im[\psi ^{*}(x,t)\partial _{x}\psi (x,t)]$.⁶ Pour rappel, ce courant intervient dans l'équation de continuité: $\partial _{t}\rho +\partial _{x}j_{x}=0$ qui exprime la conservation de la densité de probabilité $\rho (x,t)=\psi ^{*}\psi (x,t)$.
3. Quelle est la limite de validité de ce développement en $\hbar \protect \protect$? Le développement de $\psi _{SC}$ correspond-il à un développement de Taylor usuel? Dans la suite, on posera par un choix de dimensions $\hbar =1$ pour simplifier les notations.
4. Dans une région classiquement interdite, $E<V(x)$, on peut sous les mêmes conditions obtenir 2 solutions approchées $\psi _{SC}(x)\sim e^{\pm \int ^{x}dx'\vert p(x')\vert}$. Quel phénomène bien connu ces fonctions d'onde décrivent-elles? Si la région interdite s'étend jusque $x=+\infty$, une des deux solutions est interdite: laquelle? Que vaut dans ce cas le courant de probabilité? Interpréter physiquement ce résultat.
5. En un point de rebroussement (prenons par exemple $x=0$), l'impulsion classique s'annule: l'approximation semi-classique est-elle valable? On peut néanmoins tenter de raccorder les comportements trouvés de part et d'autre en continuant la fonction $V(x)$ et les solutions asymptotiques $\psi _{SC}(x)$ dans le plan complexe $x=\rho e^{i\phi }$, de façon à éviter $x=0$.

   		$\phi =-\pi$	$\phi =0$	$\phi =+\pi$
   $x\sim V(x)-E$	$\sim \rho e^{i\phi }$	$\sim -1$	$\sim +1$	$\sim -1$
   $p(x)\sim \sqrt{E-V(x)}$	$\sim i\sqrt{\rho }e^{i\phi /2}$	$\sim +1$	$\sim +i$	$\sim -1$
   $1/\sqrt{p(x)}$	$\sim \rho ^{-1/4}e^{-i\pi /4}e^{-i\phi /4}$	$\sim +1$	$\sim e^{-i\pi /4}$	$\sim -i$
   $i\int _{0}^{x}dx' p(x')$	$\sim -\rho ^{3/2}e^{i3\phi /2}$	$\sim +i$	$\sim -1$	$\sim -i$

   On s'attend donc à trouver pour une fonction qui serait décroissante à droite
   

   $$\psi _{SC}(x) = \frac{e^{-i\pi /4}}{2\sqrt{\vert p(x)\vert}}e^{-\int _{0}^{x}dx'\vert p(x')\vert}\qquad V(x)>E$$

   $$\rightarrow \frac{e^{-i\pi /4}}{\sqrt{\vert p(x)\vert}}\left[ e^{+i\pi /4+i\i... ... p(x')\vert}+e^{-i\pi /4-i\int _{0}^{x}dx'\vert p(x')\vert}\right] \quad V(x)<E$$

   
   
   En particulier, on voit que le déphasage de $-\pi /2$ entre l'onde incidente $p>0$ et l'onde réfléchie $p<0$ provient du préfacteur $p^{-1/2}$. Le facteur $1/2$ et la raison pour laquelle on ne peut faire le même raisonnement pour ``recoller'' les fonctions avec $\phi =0,\pi ,2\pi$ au lieu des valeurs choisies ici ne peuvent se comprendre que par le phénomène de Stokes dans la théorie des séries asymptotiques.

6. Règle de quantification de Bohr-Sommerfeld: si on a un potentiel pour lequel la région classiquement permise est d'extension finie, comprise entre 2 points de rebroussements $a<x<b$, la trajectoire classique pour une énergie $E$ donnée est une courbe fermée dans l'espace des phases $(p,x)$. On peut alors répéter l'argument précédant au voisinnage de chaque point de rebroussement. Une onde partant de $a$ verra sa phase augmenter de $\int ^{b}_{a}dx \vert p(x,E)\vert$ pour atteindre $b,$ puis de $-\pi /2$en se réfléchissant de $p>0$ à $p<0$. Pour revenir en $a$, la phase augmente ensuite de $\int ^{a}_{b}dx(-p(x,E))$, qui a la même valeur que la première intégrale. En $a,$ l'onde se réflechit, avec un nouveau changement de phase de $-\pi /2$, et le cycle recommence. Chaque cycle contribue à la fonction d'onde totale et pour qu'il interfère constructivement avec les précédants, il faut un déphasage de $2\pi n$ entre 2 passages successifs, soit (dans des unités non-fondamentales où $\hbar \not =1$)
   $$\frac{1}{\hbar }\oint dx p(x,E_{n})-\pi =\frac{2}{\hbar }\int ^{b}_{a}dx \vert p(x,E_{n})\vert-\pi =2\pi n$$
   ce qui n'est possible que pour des valeurs discrètes de l'énergie $E_{n}$. Interpréter géométriquement l'intégrale $\oint dx p(x,E)$ dans l'espace des phases classique $(p,x)$ et faire le lien avec la mécanique statistique où le nombre d'états quantiques est proportionnel au volume dans l'espace des phases. Le résultat semi-classique est à priori valable pour $n$ grand; montrer que pour $n=0$, grâce au déphasage de réflection, le résultat obtenu n'est pas en contradiction avec le principe d'incertitude.
7. Dans le cas de l'oscillateur harmonique: tracer les courbes $p(x,E)$ dans l'espace des phases, calculer les niveaux d'énergie prévus par cet argument semi-classique et comparer la fonction d'onde $\psi _{SC}$ avec le résultat exact connu.