L'atome d'Hélium

L'hamiltonien d'un atome à 2 électrons de positions $r_{1}$ et $r_{2}$ est (négligeant le mouvement de translation du centre de masse

$$H = H_{1}+H_{2}+W$$

$$H_{1} = -\frac{\hbar ^{2}}{2m}\vec{\nabla }^{2}_{r1}+\frac{-Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0} r_{1}}; H_{2}=(r_{1}\rightarrow r_{2})$$

$$W = +\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0} r_{12}}$$

dans lequel $W\protect$ traduit la répulsion électrostatique entre les deux électrons de même charge.

1. Calculer le spectre de $H_{0}=H_{1}+H_{2}$ correspondant à des états où les 2 électrons sont liés. Donner les états propres et la dégénérescence des niveaux en tenant compte de l'indiscernabilité des électrons de spin $1/2$. Peut-on avoir les 2 électrons dans des états $n=2$?
2. Quel serait l'état fondamental si on remplaçait les électrons par des bosons de spin 0 (par exemple des $\pi ^{-}$) ou par des fermions de spin 0 (cas d'école impossible dans une théorie relativiste cohérente)?
3. Écrire la forme du déplacement de niveau du premier état excité $\vert 1s,2s\rangle$ sous l'effet de $W\protect$ (au premier ordre). Les états de spin total $S=0$ et $S=1$ ont-ils encore la même énergie?
4. Si non, expliquer comment une force indépendante du spin peut donner un effet pour des états de spin différents. Montrer par un raisonnement similaire à celui permettant de comprendre les liaisons covalentes, quel est l'état de plus basse énergie (comparer les fonctions d'onde pour $r_{1}$ proche de $r_{2}$ où l'énergie potentielle $W\protect$ domine).
5. La différence d'énergie entre ces 2 états porte le nom d'intégrale d'échange et résulte d'un effet purement quantique. En donner une expression mathématique simplifiée et la comparer avec la moyenne de ces 2 énergies. Montrer que cette moyenne possède une interprétation classique indépendante de l'indiscernabilité.