Oscillateur anharmonique: comparaison
approche perturbative / variationnelle

On a vu précédemment par l'étude perturbative au 2e ordre en $\lambda _{3}$

$$H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega ^{2}}{2}x^{2}+\lambda _{3}\frac{\hbar \omega }{(\hbar /\omega m)^{3/2}}x^{3}\cr$$ (5)

$$\Rightarrow E_{n}(\lambda _{3})=\hbar \omega [n+\frac{1}{2}+\frac{\lambda _{3}^{2}}{4}(-15n^{2}-15n-2)+O(\lambda _{3}^{4})],$$ (6)

et on a noté que pour $\lambda _{3}$ fixé, $E_{n}$ décroissait indéfiniment à grand $n$. Comme le potentiel classique $V(x)\sim \lambda _{3}x^{3}$ est non-borné inférieurement à grand $x$, on ne peut savoir si cette propriété des $E_{n}$ est un artefact de l'approche perturbative, ou un problème inévitable du potentiel choisi. Pour le savoir, on va ajouter un terme $\sim +\lambda _{4}x^{4}$ qui stabilise le potentiel, et calculer son effet au premier ordre sur $E_{n}$.

1. Étude classique du potentiel:⁷ $V(x)=\frac{1}{2}x^{2}+\lambda _{3}x^{3}+\lambda _{4}x^{4}$
   Montrer que pour $\lambda _{3}$ fixé, il y 2 valeurs critiques de $\lambda _{4}\sim \lambda _{3}^{2}$: l'une⁸ au-dessous de laquelle apparaît un second minimum, et l'autre⁹ au-dessous de laquelle ce second minimum possède une énergie potentielle inférieure à $x=0$. Quelle symétrie apparaît pour cette seconde valeur critique? Comment se comporte la position du second minimum lorsque $\lambda _{3},\lambda _{4}\rightarrow0$ avec $\lambda _{4}/\lambda _{3}^{2}$ fixé?
2. Niveaux d'énergie perturbatifs: calculer les niveaux d'énergies à des termes d'ordre $(\lambda _{3}^{4},\lambda _{4}^{2},\lambda _{3}^{2}\lambda _{4})$ près.¹⁰. Le problème à grand $n$ a-t-il disparu pour toutes les valeurs de $\lambda _{4}$? Pouvez-vous croire au résultat obtenu pour $n>n_{max}\sim 4/(15\lambda _{3}^{2})$?
3. Approche variationnelle: Si le potentiel possède 2 minima, on peut l'assimiler à un oscillateur harmonique au voisinage de chacun d'eux. Les opérateurs de création $a_{1,2}^{\dag }$ créeront alors 2 ``tours'' d'états indépendantes. Montrer que pour $\lambda _{4}$ suffisamment petit, les intégrales de recouvrement seront négligeables, et ces états seront pratiquement orthogonaux. Si l'on a dégénérescence exacte entre les 2 minima (p.ex, par argument de symétrie), ces termes de recouvrement bien que petits, lèvent cette dégénérescence. Quel est l'ordre de grandeur en fonction de $\lambda _{4}$ de la différence d'énergie? Peut-on trouver cet effet à un ordre fini de l'approche perturbative?

4. Limite semi-classique: Pour $n$ grand, on doit retrouver la règle de quantification de Bohr-Sommerfeld. Pour chaque énergie classique $E$, il existe 2 points $(x_{min}(E),x_{max}(E))$ limitant la zone classiquement permise entre lesquelles la particule effectue un mouvement périodique. Ces points sont ceux où l'impulsion classique $p(x,E)=\sqrt{2m(E-V(x))}$ s'annule. Les états liés quantiques correspondent aux valeurs de l'énergie où l'onde de de Broglie $e^{\frac{i}{\hbar }\int p(x)dx}$ interfère de façon constructive à chaque période:

   $$\int _{x_{min}(E_{n})}^{x_{max}(E_{n})}dx p(x;E_{n})=\pi \hbar (n+1/2)$$ (7)

   
   
   Pour l'oscillateur harmonique, le membre de gauche vaut $\pi E$ et on retrouve exactement le résultat connu. Dans le cas anharmonique, montrer qu'on doit avoir $E_{n}^{3}\sim \lambda _{4}n^{4}$ à suffisamment grand $n$. Cette expression possède-t-elle un développement en série entière autour de $\lambda _{4}=0$?