1.1 Les rotations dans l'espace

$$\underbrace{\mathbb{O}}_{\textrm{matr... ...ow \vec{v}'=\mathbb{O}\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right)$$

Application linéaire de $\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ respecte le produit scalaire de $2$ vecteurs, respecte les longueurs.

$\Rightarrow (\mathbb{O}^{t}\mathbb{O})_{ij}=\delta _{ij}=(\mathbb{1}_{ij}$ : respect du produit scalaire ($v.v=v'.v'$).

$\Rightarrow \mathbb{O}^{t}=\mathbb{O}^{-1}$

$\mathbb{O}\in O(3)$ groupe des matrices orthogonales.

$(O_{1}O_{2})^{t}=O^{t}_{2}O^{t}_{1}=O^{-1}_{2}O^{-1}_{1}=(O_{1}O_{2})^{-1}$ $\Rightarrow$ Groupe à $3$ paramètres continus :

• $1$ angle pour définir l'angle de rotation,
• $2$ angles pour définir l'axe rotation.

1.1.1 Petites rotations

Matrice orthogonale proche de la matrice unité :

$$% latex2html id marker 5464\begin{array}{lll} \mathbb{O}=\... ... \Rightarrow \boxed{\mathbb {A}^{t}=-\mathbb {A}}& \end{array}$$

$$% latex2html id marker 5466\begin{array}{ll} \mathbb{A}& =... ...\vec{\theta }=(\theta _{x},\theta _{y},\theta _{z}) \end{array}$$

Sous l'action d'une rotation infinitésimale, l'action sur un vecteur à $3$ dimensions donne :

$$% latex2html id marker 5470\begin{array}{ll} \delta _{\the... ...\epsilon _{ijk}}_{(\mathbb{R}_{k})_{ij}}\theta _{k} \end{array}$$

Remark   $\vec{\theta }\times \vec{v}\Rightarrow \vert\vec{\theta }\vert=\textrm{ angle de rotation }$d'où : $\frac{\vec{\theta }}{\vert\vec{\theta }\vert}=\textrm{ axe de rotation}$.

Toute matrice antisymétrique $\mathbb{A}$ done une matrice $\mathbb{O}$ par exponentiation:

$$% latex2html id marker 5480\begin{array}{rl} \displaystyle... ...^{n}}_{=0\textrm{ sauf pour }x=0}\\ & =\mathbb{1}\end{array}$$

$$\Rightarrow \mathbb{O}^{t}=e^{\mathbb{A}^{t}}=e^{-\mathbb{A}}=\mathbb{O}^{-1}$$

Si on exponentialise une matrice antisymétrique, alors la matrice que l'on obtient est orthogonale.

Example   Soit $\vec{\theta }=(\theta _{x},\theta _{y},\theta _{z})$ qui a ses coordonnées dans $O(3)$.

$e^{\theta _{z}\mathbb{R}_{z}}=\left( \begin{array}... ...0\\ \sin \theta _{z} & \cos \theta _{z} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ avec $\mathbb{R}^{2}_{z}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ et $\mathbb{R}^{2n+1}=\mathbb{R}_{z}$ où $\mathbb{R}_{z}$ est la matrice de rotation d'un angle $\theta$ autour de l'axe des $z$. Le module du vecteur indique de combien on tourne, sa direction indique l'axe de rotation.

1.1.2 Commutateur

Soient $2$ rotations $O_{1},O_{2}$ :

$$% latex2html id marker 5506\begin{array}{ll} O^{-1}_{1}O^{... ...{2}-\mathbb{A}_{2}\mathbb{A}_{1})+O(\mathbb{A}^{3}) \end{array}$$

$$% latex2html id marker 5508\begin{array}{ll} \displaystyle... ... \\ & =\sum _{k=1}^{3}\theta _{3k}\mathbb{R}_{k} \end{array}$$

d'où :

$$% latex2html id marker 5510\begin{array}{ll} \displaystyle... ...ta _{3k}=\sum _{i,j}f_{ijk}\theta _{1i}\theta _{2j} \end{array}$$

Où $f_{ijk}$ est une constante de structure.

Ces commutations forment l'algèbre de Lie.

1.1.3 Algèbre de Lie

Des petites rotations contiennent entièrement la structure des grandes rotations grâce à l'exponentiation de ces petites rotations.

$$\displaystyle [\mathbb{R}_{i},\mathbb{R}_{j}]=\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\mathbb{R}_{k}$$

Example   $[\mathbb{R}_{x},\mathbb{R}_{y}]=\mathbb{R}_{z}$

1.1.4 Effets des rotations sur des fonctions $f(x,y,z)\protect$

Soit $f$ telle que : $f(x,y,z)\doteq f(\vec{r})$ et $\vec{\theta }$ tel que : $\vec{r}\longrightarrow \vec{r}'=\vec{r}+\delta _{\vec{\theta }}\vec{r}$.

$f\longrightarrow f'\: :\: f'(\vec{r})=f\left( \vec{r}'-\delta _{\vec{\theta }}\vec{r}\right)$ car $f'(\vec{r})=f\left( \vec{r}-\delta _{\vec{\theta }}\vec{r}\right)$

$$% latex2html id marker 5536\begin{array}{ll} \left. \delta... ...epsilon _{kij}x_{j}\frac{\partial }{\partial x_{i}} \end{array}$$

1.1.5 Crochets de Poisson

$$\left\{ p_{i},f(\vec{r})\right\} =\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$$

$\Rightarrow \delta _{\vec{\theta }}f(x)=-\sum\limits _{k}\theta _{k}\{L_{k},f\}$ avec $L_{k}=\sum\limits _{i,j}\epsilon _{kji}x_{j}p_{i}=-\sum\limits _{i,j}\epsilon _{kij}x_{j}p_{i}=\left. (\vec{x}\times \vec{p})\right\vert _{k}$.

$(\vec{x}\times \vec{p})$ est un moment angulaire. Donc $L_{k}$ représente le moment cinétique.

1.1.6 Crochets de Poisson classiques

On s'intéresse maintenant plus particulièrement aux crochets de Poisson entre moments cinétiques :

$\begin{array}{ll} \left\{ L_{x},L_{y}\right\} & =\left\{ yp_{z}-zp_{y},zp_{x}-xp_{z}\right\} \\ & =-xp_{y}+yp_{x}\\ & =-L_{z} \end{array}$

$$% latex2html id marker 5554\begin{array}{ll} \boxed{\{L_{i... ...}\\ \textrm{groupe des rotations }O(3) \end{array}\end{array}$$

$L_{k}$ est le générateur des rotations classiques.