1.2 Quantification

On passe d'une grandeur $\varphi$ à un opérateur :

$$\begin{array}{rl} L_{k} & \longrightarrow \hat{L}_{k}=\sum _... ...\right] =\sum _{k}i\hbar \epsilon _{ijk}\hat{L}_{k} \end{array}$$

$[\mathbb{R}_{i},\mathbb{R}_{j}]=\sum _{k}\epsilon _{ijk}\mathbb{R}_{k}$ avec $L_{j}=i\hbar \mathbb{R}_{j}$

Quand on quantifie, on perd le moment cinétique, vecteur dont on connaît toutes les composantes. On peut fixer $L_{x}$ et $L_{y}$ en même temps (crochets de Poisson $\rightarrow$ commutateurs).

On peut fixer une composante et la longueur du vecteur au mieux :

$$\left\{ \begin{array}{l} \hat{L}_{z}\\ \hat{L}^{2}=\hat{L}_{x}^{2}+\hat{L}_{y}^{2}+\hat{L}_{z}^{2} \end{array}\right.$$

Ce qui est intéressant car $\hat{L}_{z}$ commute avec $\hat{L}^{2}$. On peut aussi définir l'opérateur $\hat{L}_{\pm }$ :

$$\hat{L}_{\pm }=\hat{L}_{x}\pm i\hat{L}_{y}=(\hat{L}_{\mp })^{\dagger }$$

$$\left\{ \begin{array}{l} \left[ \hat{L}_{z},\hat{L}_{\pm }\right]... ...{L}_{\pm }\right] =\left[ \hat{L}^{2},\hat{L}_{z}\right] =0 \end{array}\right.$$

$\begin{array}{ll} \hat{L}^{2} & =\frac{1}{2}(L_{+}L_{-}+L_{-}L_{+})+L_{z}^{2}\... ...{-},L_{+}]+\hat{L}_{z}^{2}\\ & =L_{+}L_{-}-\hbar L_{z}+L_{z}^{2} \end{array}$