next up previous contents
suivant: 1.3 Théorie des groupes monter: 1 Théorie générale des précédent: 1.1 Les rotations dans   Table des matières

1.2 Quantification

On passe d'une grandeur $ \varphi $ à un opérateur :

\begin{displaymath}
\begin{array}{rl}
L_{k} & \longrightarrow \hat{L}_{k}=\sum _...
...\right] =\sum _{k}i\hbar \epsilon _{ijk}\hat{L}_{k}
\end{array}\end{displaymath}

% latex2html id marker 5564
$ [\mathbb{R}_{i},\mathbb{R}_{j}]=\sum _{k}\epsilon _{ijk}\mathbb{R}_{k} $ avec % latex2html id marker 5566
$ L_{j}=i\hbar \mathbb{R}_{j} $

Quand on quantifie, on perd le moment cinétique, vecteur dont on connaît toutes les composantes. On peut fixer $ L_{x} $ et $ L_{y} $ en même temps (crochets de Poisson $ \rightarrow $ commutateurs).

On peut fixer une composante et la longueur du vecteur au mieux :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
\hat{L}_{z}\\
\hat{L}^{2}=\hat{L}_{x}^{2}+\hat{L}_{y}^{2}+\hat{L}_{z}^{2}
\end{array}\right. $

Ce qui est intéressant car $ \hat{L}_{z} $ commute avec $ \hat{L}^{2} $. On peut aussi définir l'opérateur $ \hat{L}_{\pm } $ :

$\displaystyle \hat{L}_{\pm }=\hat{L}_{x}\pm i\hat{L}_{y}=(\hat{L}_{\mp })^{\dagger }$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \hat{L}_{z},\hat{L}_{\pm }\right]...
...{L}_{\pm }\right] =\left[ \hat{L}^{2},\hat{L}_{z}\right] =0
\end{array}\right. $

$ \begin{array}{ll}
\hat{L}^{2} & =\frac{1}{2}(L_{+}L_{-}+L_{-}L_{+})+L_{z}^{2}\...
...{-},L_{+}]+\hat{L}_{z}^{2}\\
& =L_{+}L_{-}-\hbar L_{z}+L_{z}^{2}
\end{array} $



2000-10-19