1.3 Théorie des groupes

$(G,\: .\: )$ est un groupe si et seulement si :

$$% latex2html id marker 5592\begin{array}{ll} \ast \: \fora... ...}}\textrm{l}\acute{\textrm{e}}\textrm{ment inverse} \end{array}$$

Remark   Sur $a^{-1}$ et $e$ :

• $e$ est unique : si $e'$ a les mêmes propriétés que $e$ : $e=ee'=e'e=e'$
• $a^{-1}$ est unique : si $b$ a les mêmes propriétés que $a^{-1}$ alors $a.b=b.a=e$ et $b=eb=(a^{-1}a).b=a^{-1}(ab)=a^{-1}e=a^{-1}$
• $(abc)^{-1}=c^{-1}b^{-1}a^{-1}$

Définitions

 

• Un groupe abélien est un groupe commutatif : $\forall a,b\in G\, :\, ab=ba$
• Sous-groupe : $(H,\cdot )$ sous-groupe de $(G,\cdot )$ si et seulement si $H\subset G$ et $(H,\cdot )$ forme un groupe
• Un produit direct de deux groupes $G$ et $H$ : $G\otimes H=\left\{ (g,h),\, g\in G,\, h\in H\right\}$ qui a lui aussi une structure de groupe.
  
  $$(g_{1},h_{1}).(g_{2},h_{2})=\left( \underbrace{g_{1}.g_{2}}_{\in G},\underbrace{h_{1}.h_{2}}_{\in H}\right)$$

• Isomorphisme de groupe : À chaque objet du groupe de départ est associé par $\mathcal{I}$ une image dans le groupe d'arrivée et réciproquement. L'image d'un produit est le produit des images.
• Homomorphisme : À chaque objet du groupe de départ est associé par l'homomorphisme $\mathcal{H}$ une image dans le groupe d'arrivée. La réciproque n'est pas forcément vraie.