1.4 Représentations linéaires d'un groupe

• Si on a un espace-vectoriel $E_{d}$ de dimension $d$
• Soient des opérateurs linéaires $A$ sur $E_{d}$ tels que :
  
  $$A(B(\psi ))\doteq (A.B)(\psi )$$

• Si on a une base alors ces opérateurs sont des matrices $d\times d$
• Homomorphisme $T$ :
  
  $$% latex2html id marker 5656\begin{array}{lll} \forall g\in... ...d}\\ g,g'\in G & \rightarrow T(g.g')=T(g)T(g') & \end{array}$$

Alors on a une représentation linéaire de dimension $d$ notée $\Gamma _{d}=\left\{ T(g),\forall g\in G\right\}$

Définitions

 

• Somme directe de $2$ espaces vectoriels :
  si $\forall \psi \in E$ on a $\psi =\varphi _{1}+\varphi _{2}$ avec $\left\{ \begin{array}{ll} \varphi _{1}\in \mathbb{... ...athbb{F}_{2} & \textrm{sous espace vectoriel de }\mathbb{E} \end{array}\right.$
  alors $\mathbb{E}=\mathbb{F}_{1}\oplus \mathbb{F}_{2}$
  ex : $\underbrace{\textrm{espace }3d}_{\mathbb{E}}=\unde... ...thbb{F}_{1}}\oplus \underbrace{\textrm{Droite }Z}_{\textrm{ev }\mathbb{F}_{2}}$
• Sous-espace stable sous représentation $\Gamma$ du groupe $G$ :
  $\mathbb{F}_{1}$ sous-espace vectoriel de $\mathbb{E}$ est stable sous $\Gamma (G)$ si : $\left. \begin{array}{l} \forall \phi _{1}\in \mathbb{F}\\ \forall g\in G \end{array}\right\} \, T(g)(\phi _{1})\in \mathbb{F}_{1}$
  ex : $\mathbb{F}_{1}$ (plan $XY$) est stable sous rotation autour de l'axe $Z$.
• Représentation irréductible : Ne posséde pas de sous-espace stable. Tous les vecteurs de la représentation sont mélangés entre eux par un certain élément du groupe.
  ex : $\mathbb{E}_{3}$ (espace à $3$ dimensions) est irréductible pour le groupe $G$ des rotations à $3$ dimensions.
  contre-ex : $\mathbb{E}_{3}$ est réductible pour un sous-groupe $H$ de $G$ où $H$ est le groupe des rotations autour de l'axe $Z$.
  
  $$\mathbb{E}_{3}=\underbrace{\textrm{pl... ...e }Z \end{array}}\oplus \underbrace{\textrm{Droite }Z}_{\textrm{stable sous }H}$$
  La matrice représentative de la rotation autour de $Z$ étant:
  
  $$T(\theta _{z})=\left( \begin{array}{c... ...y}\right) =\left( \begin{array}{cc} M_{1} & 0\\ 0 & M_{2} \end{array}\right)$$

• Représentations équivalentes (ou isomorphes) : $\Gamma _{1}$ et $\Gamma _{2}$ sont équivalentes s'il existe un homomorphisme de groupe entre les deux.
  ex : Soient $\mathbb{E}=\{\vec{v}\}$ et $\mathbb{E}'=\{\vec{v}'=B\vec{v}\}$ où $B$ est une matrice de changement de base, alors
  $$\left\{ \begin{array}{ll} \Gamma =\{T... ... \Gamma '=\{T'(g)=B.T(g).B^{-1}\, ;\, \forall g\in G\} & \end{array}\right.$$

Rappel sur le produit tensoriel

Quelques propriétés :
$\left. \begin{array}{l} \vec{v}_{1}\in \mathbb{E}_... ...htarrow \vec{v}_{1}\otimes \vec{v}_{2}\in \mathbb{E}_{1}\otimes \mathbb{E}_{2}$

• linéarité : $(c\vec{v}_{1})\otimes \vec{v}_{2}=c(\vec{v}_{1}\otimes \vec{v}_{2})=\vec{v}_{1}\otimes (c\vec{v}_{2})$
• distributivité : $\vec{v}_{1}\otimes (\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3})=\vec{v}_{1}\otimes \vec{v}_{2}+\vec{v}_{1}\otimes \vec{v}_{3}$
• $\left. \begin{array}{l} \{\vec{e}_{i}\}\, \textrm{... ...Rightarrow \{\vec{g}_{ij}\}=\{\vec{e}_{i}\otimes \vec{f}_{j}\}=\{\vec{g}_{I}\}$ où $I=1,2,\cdots ,d_{2},\cdots ,d_{1}d_{2}$

Donc tout vecteur de $\mathbb{E}_{1}\otimes \mathbb{E}_{2}$ peut s'écrire comme :

$$\begin{array}{ll} \vec{V} & =\sum _{I=1}^{d_{1}d_{2}}c_{I}\v... ...}^{d_{1},d_{2}}c_{ij}\vec{e}_{i}\otimes \vec{f}_{j} \end{array}$$

En particulier : $\vec{v}_{1}\otimes \vec{v}_{2}=(\sum a_{i}\vec{e}_{i})\otimes (\sum b_{j}\vec{... ...um\limits _{i,j}\underbrace{a_{i}b_{j}}_{c_{ij}}\vec{e}_{i}\otimes \vec{f}_{j}$

• Produit tensoriel de deux représentation :
  si $\left\{ \begin{array}{l} \Gamma _{1}\textrm{ repr}... ...}G\textrm{ dans }\mathbb{E}_{2},\, \Gamma _{2}=\{T_{2}(g)\} \end{array}\right.$ alors $\Gamma _{1}\otimes \Gamma _{2}=\{T_{1}(g)\otimes T_{2}(g)\}$ est une représentation de $G$
• Éléments de matrice :
  
  $$T_{1}\otimes T_{2}=\left( \begin{array}{ccc} (T_{1})_{11}T_{2} & ... ... (T_{1})_{d_{1}1}T_{2} & \cdots & (T_{1})_{d_{1}d_{2}}T_{2} \end{array}\right)$$

• Décomposition de Clebsch-Gordan :
  $\Gamma _{i}\otimes \Gamma _{j}=a_{ij_{1}}\Gamma _{1}\oplus a_{ij_{2}}\Gamma _{2}\oplus \cdots \oplus a_{ij_{n}}\Gamma _{n}$ où les $a_{ij_{k}}$ sont les coefficients de Clebsch-Gordan

Example   Soient $G$ le groupe des rotations, $\mathbb{E}_{3}$ l'espace des représentations et $\Gamma \equiv 3$ (matrices $3\times 3$ sur vecteurs à $3D$)

Si on prend $\mathbb{E}_{3}\otimes \mathbb{E}_{3},$ on obtient $\mathbb{E}_{9}$ qui est l'espace des matrices $3\times 3.$

Au niveau de la représentation des matrices de rotation, on peut écrire $3\otimes 3=5\oplus 3\oplus 1$ où $5$ est une matrice symétrique sans trace : $\frac{1}{2}\left( M_{ij}+M_{ji}\right) -\frac{\delta _{ij}}{3}\textrm{Tr}M$; $3$ est une matrice antisymétrique : $M_{ij}-M_{ji}$ et $1$ la trace de $M$ : $\textrm{Tr}M=\sum\limits _{i=1}^{3}$. En effet : $M=S+A+T$ avec :

$$\left\{ \begin{array}{ll} (T)_{ij}=\textrm{Tr}(M)\frac{\delta _{i... ...{1}{2}(M_{ij}+M_{ji})-\frac{\delta _{ij}}{3}\textrm{Tr}M & \end{array}\right.$$