1.5 Représentations des rotations

$\hat{L}$ décrit un moment orbital $\hat{r}\times \hat{p}$ sur des fonctions d'onde $\langle \vec{r}\vert l,m\rangle =Y_{lm}(\theta ,\varphi )$ où $l$ est l'état propre de $L^{2}$ et $m$ celui de $L_{z}$. Existe-t-il des représentations plus générales des mêmes relations de commutation avec $\hat{L}_{k}\longrightarrow \hat{J}_{k}$ et $\left[ \hat{J}_{i},\hat{J}_{j}\right] =i\hbar \epsilon _{ijk}\hat{J}_{k}$ ?

Question

Quelles représentations irréductibles de dimension finie peut-on avoir de ces relations ?

Ces représentations sont des ensembles de vecteurs se mélengeant entre eux. On va chercher des états propres de $\left( J^{2},J_{z}\right)$ c'est-à-dire un ECOC :

$$\left\{ \begin{array}{l} J_{z}\vert\lambda ,m\rangle =\hbar m\ver... ...lambda ,m\rangle =\hbar ^{2}\lambda \vert\lambda ,m\rangle \end{array}\right.$$

Sous l'action d'une ``rotation'' infinitésimale :

$$\vert\lambda ,m\rangle \rightarrow \vert\lambda ,m\rangle +\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}J_{i}\vert\lambda ,m\rangle$$

• Si $\left[ J^{2},J_{i}\right] =0,$ alors différentes valeurs propre $\lambda$ ne se mélangeant pas.
• Si $\langle \psi \vert J^{2}\vert\psi \rangle =\sum _{i}\left\vert J_{i}\vert\psi \rangle \right\vert ^{2}\geq 0$ est vrai pour tout $\psi$ alors on doit avoir $\lambda \geq 0$
• Les valeurs de $m$ dans une représentation différent par des entiers : $J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}=(J_{\pm })^{\dagger }$ et on a $[J_{z},J_{\pm }]\vert\lambda ,m\rangle =\pm \hbar J_{\pm }\vert\lambda ,m\rangle$
  Alors on peut calculer :
  
  $$\begin{array}{l} \Rightarrow J_{z}\left( J_{\pm }\vert\lambd... ...ngle =\hbar (m\pm 1)J_{\pm }\vert\lambda ,m\rangle }\end{array}$$

• Cherchons la valeur de $\lambda$ :
  $\begin{array}{ll} \Arrowvert J_{+}\vert\lambda ,m\rangle \Arrowvert ^{2} & =\l... ...\textrm{finition}}\\ & =\hbar ^{2}\left( \lambda -(m+1)m\right) \end{array}$
  $\Rightarrow \lambda =m_{max}(m_{max}+1)$ si $\Arrowvert J_{+}\vert\lambda ,m\rangle \Arrowvert ^{2}=0$ (sinon pas de $m_{max}=j$).
  D'où : $(J_{+})^{h}\vert\lambda ,m\rangle \Rightarrow \vert\lambda ,m+h\rangle$ et donc $\boxed{\lambda =j(j+1)}$
• Cherchons la valeur minimale que peut prendre $m$ :
  $\begin{array}{ll} \Arrowvert J_{-}\vert\lambda ,m\rangle \Arrowvert ^{2} & =\l... ...rt\lambda ,m\rangle \\ & =\hbar ^{2}\left[ j(j+1)-m(m-1)\right] \end{array}$ $\Rightarrow \boxed{m_{min}=-j}$ sinon il y aurait une infinité d'états $(J_{-})^{k}\vert\lambda ,m\rangle$ se mélangeant entre eux sous rotations : pas de dimension finie
• $m_{max}-m_{min}=2j=\textrm{entier}\rightarrow j=\frac{n}{2}\, \forall n\in \mathbb{N}$ donc $j=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\cdots$ $\Rightarrow \boxed{m=\underbrace{-j,-j+1,\cdots ,j-1,j}_{(2j+1)\textrm{ valeurs}}}$

Quelques exemples pour différentes valeurs de $j$ :

$\begin{array}{lll} j=0 & \rightarrow \vert,0\rangl... ...& \textrm{vecteurs}\\ j=2 & \rightarrow 5\, \textrm{vecteurs} & \end{array}$