1.6 Spin $1/2\protect$ $(j=1/2)\protect$

$j=1/2$ : moment angulaire demi-entier. Si $j=1/2,$ $m=\pm 1/2$ : il y a deux états possibles.

$\vert j,m\rangle =\left\{ \vert\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle ,\vert\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle \right\}$

Remark    

$$% latex2html id marker 5882\begin{array}{ll} X\longrightar... ...\textrm{ espace des fonctions d}'\textrm{onde en }y \end{array}$$

$\mathbb{E}_{x}\otimes \mathbb{E}_{y}=\psi _{x}(x).\psi _{y}(y)$

En général, on a des fonctions arbitraires : $\psi (x,y)$

Dans cette base $\vert j,m\rangle$, les solutions sont données par :

$$\left\{ \begin{array}{ll} J_{z}=\frac{\hbar }{2}\left( \begin{arr... ...} 0 & 2\\ 0 & 0 \end{array}\right) =(J_{-})^{\dagger } & \end{array}\right.$$

$$\Rightarrow \boxed{J_{x}=\frac{1}{2}(J_{+}+J_{-})=\frac{\hbar }{2... ...gin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right) =\frac{\hbar }{2}\sigma _{x}}$$

On voit que $[J_{z};J_{\pm }]=\pm \hbar J_{\pm }$ et :

$$\boxed{J_{y}=\frac{1}{2i}(J_{+}-J_{-})=\frac{\hbar }{2}\left( \begin{array}{cc} 0 & -i\\ i & 0 \end{array}\right) =\frac{\hbar }{2}\sigma _{y}}$$

$(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ : matrices de Pauli : base de matrices hermitiennes $2\times 2$ de trace nulle.

On a les propriétés suivantes :

$$\left\{ \begin{array}{l} \sigma _{i}=\sigma _{i}^{\dagger }\\ \... ..._{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}=[\sigma _{i},\sigma _{j}]_{+} \end{array}\right.$$

1.6.1 Rotations (abstraites) finies

Quelle est l'action de ces rotations sur les représentations $\vert j,m\rangle$ ?

$$\vert j,m\rangle \xrightarrow {R_{\ve... ...}{\hbar }(\theta _{x}J_{x}+\theta _{y}J_{y}+\theta _{z}J_{z})}\vert j,m\rangle$$

En effet, si $\theta _{x}=\theta _{y}=0,$ $R_{z}=-\frac{i}{\hbar }J_{z}$. Ainsi on a les bonnes relations de commutation pour $R_{z}.$ On obtient :

$$\vert j,m\rangle \xrightarrow {R_{\theta _{z}}}e^{-im\theta _{z}}\vert j,m\rangle$$

• Si $j$ entier alors $m$ aussi : $\theta _{z}\leftrightarrow \theta _{z}+2\pi$ et $e^{-im2\pi }=1$
• Si $j$ demi-entier alors $m$ aussi :
  
  $$% latex2html id marker 5930\begin{array}{l} e^{-im2\pi }=e... ... \xrightarrow {\theta _{z}=2\pi }-\vert j,m\rangle \end{array}$$
  Donc on a une rotation de $2\pi$ différente de l'identité. On ne peut pas faire une représentation par une simple fonction $\psi$.

1.6.2 Spin dans une direction particulière

Soit $\vec{u}=(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta )$ cette direction. On a alors :

$$\vec{J}.\vec{u}=\frac{\hbar }{2}\left... ...end{array}\right) \Rightarrow \vec{J}.\vec{u}=\frac{\hbar }{2}\sigma _{\vec{u}}$$

Où $\sigma _{\vec{u}}$ est un opérateur. On peut montrer que :

• ses valeurs propres sont $\pm \frac{\hbar }{2}$
• ses vecteurs propres sont par exemple (à une phase près) :
  
  $$\left\{ \begin{array}{l} \vert\sigma ... ...heta }{2}e^{i\frac{\varphi }{2}}\vert\sigma _{z}=-1\rangle \end{array}\right.$$
  En particulier :
  
  $$\left\{ \begin{array}{l} \vert\sigma _{x}=\pm 1\rangle =\frac{1}{... ...gma _{z}=+1\rangle \pm i\vert\sigma _{z}=-1\rangle \right] \end{array}\right.$$

Si on prépare un système dans un état $\vert\sigma _{\vec{u}}=1\rangle$, la mesure de $J_{z}$ donnera $\pm \frac{\hbar }{2}$ et pas $\frac{\hbar }{2}\cos \theta$ comme en mécanique classique. Mais les probabilités sont différentes :

$$\left\{ \begin{array}{l} \mathcal{P}\... ...c{u}}=+1\rangle \right\vert ^{2}=\sin ^{2}\frac{\theta }{2} \end{array}\right.$$

La somme des probabilités vaut bien $1.$

La valeur moyenne est :

$$% latex2html id marker 5962\begin{array}{ll} \langle \sigm... ...a }{2}\right) \\ & =\frac{\hbar }{2}\cos \theta \end{array}$$