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Sous-sections

1.6 Spin $ 1/2\protect $ $ (j=1/2)\protect $

$ j=1/2 $ : moment angulaire demi-entier. Si $ j=1/2, $ $ m=\pm 1/2 $ : il y a deux états possibles.

$ \vert j,m\rangle =\left\{ \vert\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle ,\vert\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle \right\} $

Remark    

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 5882\begin{array}{ll}
X\longrightar...
...\textrm{ espace des fonctions d}'\textrm{onde en }y
\end{array}\end{displaymath}

% latex2html id marker 5884
$ \mathbb{E}_{x}\otimes \mathbb{E}_{y}=\psi _{x}(x).\psi _{y}(y) $

En général, on a des fonctions arbitraires : $ \psi (x,y) $

Dans cette base $ \vert j,m\rangle $, les solutions sont données par :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll}
J_{z}=\frac{\hbar }{2}\left( \begin{arr...
...}
0 & 2\\
0 & 0
\end{array}\right) =(J_{-})^{\dagger } &
\end{array}\right. $

$\displaystyle \Rightarrow \boxed{J_{x}=\frac{1}{2}(J_{+}+J_{-})=\frac{\hbar }{2...
...gin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right) =\frac{\hbar }{2}\sigma _{x}}$

On voit que $ [J_{z};J_{\pm }]=\pm \hbar J_{\pm } $ et :

$\displaystyle \boxed{J_{y}=\frac{1}{2i}(J_{+}-J_{-})=\frac{\hbar }{2}\left( \begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}\right) =\frac{\hbar }{2}\sigma _{y}}$

$ (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}) $ : matrices de Pauli : base de matrices hermitiennes $ 2\times 2 $ de trace nulle.

On a les propriétés suivantes :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
\sigma _{i}=\sigma _{i}^{\dagger }\\
\...
..._{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}=[\sigma _{i},\sigma _{j}]_{+}
\end{array}\right. $

1.6.1 Rotations (abstraites) finies

Quelle est l'action de ces rotations sur les représentations $ \vert j,m\rangle $ ?

% latex2html id marker 5908
$\displaystyle \vert j,m\rangle \xrightarrow {R_{\ve...
...}{\hbar }(\theta _{x}J_{x}+\theta _{y}J_{y}+\theta _{z}J_{z})}\vert j,m\rangle $

En effet, si % latex2html id marker 5910
$ \theta _{x}=\theta _{y}=0, $ $ R_{z}=-\frac{i}{\hbar }J_{z} $. Ainsi on a les bonnes relations de commutation pour $ R_{z}. $ On obtient :

% latex2html id marker 5916
$\displaystyle \vert j,m\rangle \xrightarrow {R_{\theta _{z}}}e^{-im\theta _{z}}\vert j,m\rangle $

1.6.2 Spin dans une direction particulière

Soit % latex2html id marker 5938
$ \vec{u}=(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta ) $ cette direction. On a alors :

% latex2html id marker 5940
$\displaystyle \vec{J}.\vec{u}=\frac{\hbar }{2}\left...
...end{array}\right) \Rightarrow \vec{J}.\vec{u}=\frac{\hbar }{2}\sigma _{\vec{u}}$

$ \sigma _{\vec{u}} $ est un opérateur. On peut montrer que :

Si on prépare un système dans un état $ \vert\sigma _{\vec{u}}=1\rangle $, la mesure de $ J_{z} $ donnera $ \pm \frac{\hbar }{2} $ et pas % latex2html id marker 5956
$ \frac{\hbar }{2}\cos \theta $ comme en mécanique classique. Mais les probabilités sont différentes :

% latex2html id marker 5958
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
\mathcal{P}\...
...c{u}}=+1\rangle \right\vert ^{2}=\sin ^{2}\frac{\theta }{2}
\end{array}\right. $

La somme des probabilités vaut bien $ 1. $

La valeur moyenne est :

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 5962\begin{array}{ll}
\langle \sigm...
...a }{2}\right) \\
& =\frac{\hbar }{2}\cos \theta
\end{array}\end{displaymath}


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2000-10-19