2.4 Convergence

Armé d'une distance, on peut s'intéresser à la convergence d'une suite de fonctions (ou de vecteurs). Il faut distinguer

Convergence simple

c'est la convergence de la fonction en chaque point

$$\psi _{1},\psi _{2},\ldots \psi _{n}\rightarrow \psi$$

$$\Leftrightarrow \forall x, \psi (x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\psi _{n}(x)$$

$$\Leftrightarrow \forall \epsilon ,x,\, \exists N(\epsilon ,x): \forall n>N(\epsilon ,x),\, \vert\psi _{n}(x)-\psi (x)\vert<\epsilon$$

C'est une définition naturelle, mais insuffisante en analyse. En effet, on ne peut permuter la limite $n\rightarrow \infty$ et les limites nécéssaires au calcul infinitésimal. Exemples:

• $\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\lim _{n\rightarrow \infty }x^{n}=0\not =\lim _{n\rightarrow \infty }\lim _{x\rightarrow 1^{-}}x^{n}=1$
• $\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{2n^{2}x}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}=0$ (fonction nulle). Or $\int ^{\infty }_{0}dx\, \frac{2n^{2}x}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}=1$ $\forall n$ (en posant $t=nx$)

Convergence uniforme (C.U.)

par rapport au critère de convergence précédant, on demande de plus que $N(\epsilon ,x)$ soit indépendant de $x$, ce qui revient à demander que

$$\psi _{1},\psi _{2},\ldots \psi _{n}\begin{array}[b]{c} C.U.\\ \rightarrow \end{array}\psi$$

$$\Leftrightarrow \max _{x}\vert\psi _{n}(x)-\psi (x)\vert\rightarrow 0$$

et donc que $\vert\vert\psi _{n}-\psi \vert\vert _{\infty }$ tende vers 0. C'est pourquoi $\vert\vert\psi \vert\vert _{\infty }$ est parfois appelée norme de la convergence uniforme $\vert\vert\psi \vert\vert _{c.u.}$. La convergence uniforme permet d'échanger $\lim _{n}$et $\lim _{x}$ et garantit que, par exemple, la limite d'une suite de dérivées soit la dérivée de la limite. On peut vérifier en particulier que les problèmes soulevés par la convergence simple dans les exemples précédants disparaissent: dans ces cas, on n'avait pas convergence uniforme. La C.U. est un cas particulier de

Convergence en norme

qui a lieu pour une certaine norme si $\lim _{n\rightarrow \infty }\vert\vert\psi _{n}-\psi \vert\vert=0$. Si la convergence en norme implique convergence simple, le contraire n'est pas vrai comme on l'a vu dans les 2 exemples.