2.3 Norme

On peut donc voir les fonctions comme des vecteurs dans un espace de dimension généralement infinie. Une question qu'on peut se poser est de savoir si deux points dans un tel espace sont proches l'un de l'autre ou non. Pour cela, on a besoin du concept métrique de distance ou de norme qui permet d'associer à tout vecteur $\psi$ un réel positif $\vert\vert\psi \vert\vert$ avec les propiétés suivantes:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 1.\, \vert... ...t\vert=0\, \Rightarrow \, \psi =0 & (\textrm{noyau trivial}) \end{array}\right.$$ (2.3.1)

La distance entre deux vecteurs est donnée par la norme de leur différence, $\vert\vert\psi _{1}-\psi _{2}\vert\vert$, qui ne s'annulera que si $\psi _{1}=\psi _{2}$. Voici quelques exemples de normes satisfaisant ces propriétés:

1. $\vert\vert\psi \vert\vert _{1}\doteq \int _{a}^{b}dx\, \vert\psi (x)\vert$. Les fonctions pour lesquelles cette norme est finie forme l'espace vectoriel $\mathbb{F}=L^{1}_{[a,b]}$ des fonctions sommables sur $[a,b]$. Sur les vecteurs de $\mathbb{E}_{3}$, cette norme $\vert\vert\vec{v}\vert\vert _{1}=\sum _{i}\vert v_{i}\vert$ est parfois appelée la taxi-distance, car c'est la distance naturelle pour un taxi se déplaçant dans une ville comme New-York où la ligne droite entre deux points n'est pas possible.
2. $\vert\vert\psi \vert\vert _{2}\doteq \sqrt{\int _{a}^{b}dx\, \vert\psi (x)\vert^{2}}.$ Les fonctions pour lesquelles cette norme est finie forme l'espace vectoriel $\mathbb{F}=L^{2}_{[a,b]}$ des fonctions de carré sommable sur $[a,b]$, qui joue un rôle central en mécanique quantique par exemple. Cette norme est la plus utilisée car elle découle d'un produit scalaire, comme on le verra plus loin. Ceci est également vrai pour les vecteurs usuels $\vert\vert\vec{v}\vert\vert _{2}=\sqrt{\sum _{i}\vert v_{i}\vert^{2}}=\sqrt{\vec{v}.\vec{v}}$, auquel cas on retrouve la distance euclidienne usuelle.
3. $\vert\vert\psi \vert\vert _{\infty }\doteq \max _{x\in [a,b]}\vert\psi (x)\vert$. Pour les vecteurs usuels, on peut voir cette norme comme une limite $\vert\vert\vec{v}\vert\vert _{\infty }=\lim _{p\rightarrow \infty }\left( \sum _{i}\vert v_{i}\vert^{p}\right) ^{1/p}=\max _{i}\vert v_{i}\vert$, puisque dans la somme, la composante la plus grande domine d'autant plus que $p$ est grand.

Remarque   Pour être précis, seule la dernière définition satisfait à la troisième condition (2.3.1) dans un espace de fonctions: en effet, la valeur d'une intégrale ne change pas si l'on modifie l'intégrand en un point, ou en un ensemble de mesure nulle de points. Pour que $\vert\vert\psi \vert\vert _{1}$ou $\vert\vert\psi \vert\vert _{2}$ définissent des normes acceptables, il faut considérer toutes les fonctions de norme nulle comme équivalentes; ceci revient à considérer un espace vectoriel $\mathbb{F}$ dont chaque point est une classe d'équivalence de fonctions ne différant que par des fonctions de norme nulle. Dans des problèmes physiques, ces subtilités sont sans effet car aucune mesure ne permet de distinguer entre 2 fonctions d'une même classe: la mécanique classique ne peut décrire l'infiniment petit nécessaire à la définition d'un point mathématique, et en mécanique quantique, le principe d'incertitude demande une impulsion (et donc une énergie) infiniment grande pour sonder l'infiniment petit.

On peut généraliser légèrement ces exemples de normes en introduisant une mesure ou poids $\mu (x)\geq 0$ dans la définition:

$$\vert\vert\psi \vert\vert _{p,\mu }=\left( \int ^{b}_{a}\mu (x)dx\, \vert\psi (x)\vert^{p}\right) ^{1/p},$$

les exemples précédants correspondant au cas particulier $\mu (x)\equiv 1$. L'interprétation de ce poids est claire: dans le résultat final, les intervalles où $\mu$ est importante ``pèseront'' plus lourd que ceux où $\mu$ est très faible. Si on utilise la norme pour mesurer la distance $\vert\vert\psi _{1}-\psi _{2}\vert\vert$ entre deux fonctions, celle-ci sera d'autant plus faible que $\vert\psi _{1}(x)-\psi _{2}(x)\vert$ est petite dans les régions de grand $\mu$. On peut aussi faire le rapprochement avec une distance non-isotrope dans l'espace euclidien $\vert\vert\vec{v}\vert\vert _{2,\vec{\mu }}=\sqrt{\mu _{1}v_{1}^{2}+\mu _{2}v_{2}^{2}+\mu _{3}v^{2}_{3}}$ qui revient à la distance usuelle après avoir étiré chaque axe par un facteur $\sqrt{\mu _{i}}$: les vecteurs de même longueur forment alors un ellipsoïde au lieu d'une sphère.