2.6 Produit scalaire

Applique un couple de vecteurs de $\mathbb{E}$ sur un nombre: $\psi ,\phi \rightarrow \left\langle \phi ,\psi \right\rangle \in \mathbb{C}$.

$$\left\{ \begin{array}{ll} \left\lang... ...gle \psi ,\psi \right\rangle =0\quad \mathrm{ssi}\, \psi =0 \end{array}\right.$$

Exemple: $\left\langle \psi ,\phi \right\rangle =\int _{a}^{b}dx\, \psi ^{*}(x)\phi (x)$

Théorème 2.6   Tout produit scalaire définit une norme (ex: norme usuelle $\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert _{2}=\sqrt{\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}}$)

$$% latex2html id marker 15335\begin{array}{ll} \left\Vert \... ... \rightarrow \mathrm{interet}\, \mathrm{de}\, L^{2} \end{array}$$

Preuve.  

$$% latex2html id marker 15340\begin{array}{lll} \left\langl... ...{\left\Vert \phi \right\Vert ^{2}}\\ & \geq 0 & \end{array}$$

$\qedsymbol$

$$% latex2html id marker 15342\begin{array}{ll} \Rightarrow ... ...}\, \mathrm{de}\, \mathrm{CAUCHY}-\mathrm{SCHWARTZ} \end{array}$$

$$% latex2html id marker 15344\begin{array}{lll} \Rightarrow... ...psi \right\Vert & \mathrm{CAUCHY}-\mathrm{SCHWARTZ} \end{array}$$

$$% latex2html id marker 15346\begin{array}{ll} \Rightarrow ... ...t\Vert & \mathrm{Inegalite}\, \mathrm{triangulaire} \end{array}$$