2.7 Opérateurs linéaires: sur $\mathbb{F}\protect$

2.7.1 Opérateur

• $A$ est opérateur de $\mathbb{F}\rightarrow \mathbb{F}$ si $\begin{array}{ll} \forall \psi \in \mathbb{F}, & A\, :\, \psi \longrightarrow \psi '=A(\psi )\in \mathbb{F} \end{array}$
• $A$ est linéaire si: $\begin{array}{ll} \forall \psi _{1},\psi _{2}\in ... ...si _{1}+c_{2}\psi _{2}\right) =c_{1}A(\psi _{1})+c_{2}A(\psi _{2}) \end{array}$
  avec $\left( c_{1}\psi _{1}+c_{2}\psi _{2}\right) ,\, A(\psi _{1})\, A(\psi _{2})\in \mathbb{F}$
• Exemples:
  
  $$% latex2html id marker 15366\begin{array}{lll} \Pi \quad (... ...x)\longrightarrow \psi '(x)=\frac{d\psi }{dx}(x) & \end{array}$$
  en s'assurant à chaque fois que #MATH210#. Ceci n'est pas garanti:
  • si pour $\mathrm{x}\rightarrow \infty$, $\psi (x)\sim \left\vert x\right\vert ^{-\frac{3}{2}}$, alors $X(\psi )\not \in L^{2}$ même si $\psi \in L^{2}$ ;
  • si pour $x\rightarrow 0$, $\psi (x)\sim \left\vert x\right\vert ^{-\frac{1}{4}}$, alors $D_{x}(\psi )\not \in L^{2}$ même si $\psi \in L^{2}$.

2.7.2 Addition d'opérateurs

$$% latex2html id marker 15388\begin{array}{ll} \forall \psi \, : & (A+B)(\psi )\doteq A(\psi )+B(\psi ) \end{array}$$

2.7.3 Produit d'opérateurs: composition

$$% latex2html id marker 15392\begin{array}{lll} \forall \ps... ... A\left( B\left( \psi \right) \right) \in \mathbb{F}\end{array}$$

• Exemples:
  
  $$% latex2html id marker 15394\begin{array}{lll} D_{x}^{2}=D... ...psi (x)\longrightarrow \frac{d^{2}\psi }{dx^{2}}(x) \end{array}$$
  $$% latex2html id marker 15396\begin{array}{lll} \forall \ps... ...) & =X\psi (-x)=x\psi (-x)\\ & & =-\Pi X\psi (x) \end{array}$$
  $$\Rightarrow \Pi X=-X\Pi$$
  Le produit est non-commutatif en général. (Cf Produit Mariciel)

2.7.4 Inverse $A^{-1}$

$$% latex2html id marker 15404\begin{array}{llll} \forall \p... ...i \\ & & & \Rightarrow A^{-1}A=AA^{-1}=\mathbb{1}\end{array}$$

Remarque 2.7   $A^{-1}$ n'existe pas si $A\psi _{1}=A\psi _{2}$ avec $\psi _{1}\neq \psi _{2}$

$\rightarrow$ il faudra restreindre $\mathbb{F}$ pour éliminer $\psi _{2}-\psi _{1}$ si on veut inverser$\ldots$

2.7.5 Fonction d'opérateur

Soit $F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ par définition du développement de Taylor.

$$% latex2html id marker 15426\begin{array}{ll} F(A)\, : & \... ...i +a_{1}A\psi +\ldots a_{n}AAA\ldots A\psi +\ldots \end{array}$$

Exemple 2.7   Pour l'opérateur exponentiel.

$$% latex2html id marker 15430\begin{array}{lll} e^{bD_{x}}\... ...\ & =T_{-b}(\psi ) & \mathrm{voir}\, \mathrm{TD} \end{array}$$

2.7.6 Dérivée d'opérateurs

Si $F(A,b)$ dépend d'un paramètre $b$, on peut calculer l'opérateur $\frac{d}{db}F(A,b)$

Exemple   Dérivation de l'opérateur exponentiel:

$$% latex2html id marker 15440\begin{array}{ll} \left. \frac... ...}\acute{\textrm{e}}\textrm{rateur des translations} \end{array}$$

2.7.7 Commutateur

$$\boxed{[A,B]=AB-BA}$$

Exemple   Commutateur entre $X$ et $D_{x}$.

$$% latex2html id marker 15450\begin{array}{rll} \left[ X,D_... ...ll \psi \\ \left[ X,D_{x}\right] & =-\mathbb{1}& \end{array}$$

2.7.8 Opérateur adjoint

On définit pour tout $\psi _{1},\psi _{2}$ l'opérateur adjoint $A^{\dagger }$ par rapport au produit scalaire $\left\langle \; ,\; \right\rangle$ tel que:

$$\boxed{\left\langle A^{\dagger }\psi _{1},\psi _{2}\right\rangle \doteq \left\langle \psi _{1},A\psi _{2}\right\rangle }$$

Conséquences

 

• $\left( A^{\dagger }\right) ^{\dagger }=A$
• $\left( cA\right) ^{\dagger }=c^{\ast }A^{\dagger }$
• $\left( AB\right) ^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }$

2.7.9 Opérateur hermitien (ou auto-adjoint)

Un opérateur hermitien est un opérateur qui vérifie $\boxed{H^{\dagger }=H}$

Exemple   L'opérateur impulsion.

$P=iD_{x}$ est hermitien sur $L^{2}$:

$$% latex2html id marker 15476\begin{array}{ll} \displaystyl... ...left\langle iD_{x}\psi _{1},\psi _{2}\right\rangle \end{array}$$

Remarque   Le caractère hermitien de l'opérateur dépend de $\left\{ \begin{array}{ll} \mathbb{F} & \text {ens... ...ons}\\ \left< \; ,\; \right> & \text {produit\, scalaire} \end{array}\right.$

2.7.10 Opérateurs unitaires

Ce sont les opérateurs qui vérifient:

$$\boxed{UU^{\dagger }=U^{\dagger }U=\mathbb {1}}$$

Conséquences

 

• $\left< U\psi _{1},U\psi _{2}\right> =\left< \psi _{1},U^{\dagger }U\psi _{2}\right> =\left< \psi _{1},\psi _{2}\right>$
  $\rightarrow$ Conserve le produit scalaire et la norme (comme notations dans $\mathbb{R}^{3}$)
• $U_{3}=U_{1}U_{2}$ est unitaire $\rightarrow$ les opérateurs unitaires forment un groupe sous le produit.

2.7.11 Vecteurs et valeurs propres

Définitions

 

• Si $A$ est un opérateur linéaire sur $\mathbb{F}$ et
  
  $$% latex2html id marker 15500\begin{array}{ll} \boxed{A\psi... ...bb{F}\\ \lambda \in \mathbb{C}\end{array}\right. \end{array}$$
  Alors $\psi$ est un vecteur propre de $A$, associé à la valeur propre $\lambda .$
• Spectre de $A$: $\left\{ \lambda \; \mathrm{tq}\, :\, \lambda \, \mathrm{est}\, \mathrm{une}\, \mathrm{valeur}\, \mathrm{propre}\right\}$
• $\mathbb{E}_{\lambda }=\mathrm{sous}-\mathrm{espac... ...pre}\, \mathrm{de}\, \lambda =\left\{ \psi \, :\, A\psi =\lambda \psi \right\}$ à $\lambda$ fixé.
• $g_{\lambda }=$dégénérescence de $\lambda =\dim \left( \mathbb{E}_{\lambda }\right)$

Théorème   Les valeurs propres $\lambda$ d'un opérateur hermitien $H$ sont réelles.

Preuve. Si $\psi \in \mathbb{E}_{\lambda },\; \left< \psi ,H\... ...psi \right> =\left< \psi ,H^{\dagger }\psi \right> =\left< \psi ,H\psi \right>$

Or $\left< \psi ,H\psi \right> =\lambda \left< \psi ,\psi \right>$

de plus $\left< \psi ,H\psi \right> ,\: \left< \psi ,\psi \right> \in \mathbb{R}$

d'où $\lambda \in \mathbb{R}$ $\qedsymbol$

Théorème   Des vecteurs propres $\psi _{1},\psi _{2}$ associés à des valeurs propres $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ d'un opérateur hermitien $H$ sont orthogonaux:

$$\boxed{\left< \psi _{1},\psi _{2}\right> =0}$$

Preuve. Soient $A,\, \psi _{1},\, \psi _{2},\, \lambda _{1},\, \lambda _{2}$ tels que: $\left\{ \begin{array}{l} A\psi _{1}=\lambda _{1}\psi _{1}\\ A\psi _{2}=\lambda _{2}\psi _{2} \end{array}\right.$

$\rightarrow 0=\left< \psi _{1},A\psi _{2}\right> -\left< A\psi _{1},\psi _{2}\right> =\left( \lambda _{1}-\lambda _{2}\right) \left< \psi _{1},\psi _{2}\right>$

$\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\Rightarrow ... ..._{1},\psi _{2}\right> \Rightarrow \lambda _{1}=\lambda _{2} \end{array}\right.$ $\qedsymbol$

2.7.12 Bases orthonormées

Soit $\left\{ \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{i},\ldots ,\varphi _{D}\right\}$ avec éventuellement $D=\infty$ et $\left< \varphi _{i},\varphi _{j}\right> =\delta _... ... & \mathrm{norm}\acute{\mathrm{e}}\, \grave{\mathrm{a}}\, 1 \end{array}\right.$

Théorème   Toute base dénombrable $\left\{ \rho _{1},\rho _{2},\ldots ,\rho _{D}\right\}$ est orthonormalisable (Gram-Schmidt)

Preuve. En effet, soient $\left\{ \sigma _{i}\right\}$ une base orthogonale, on aura:

$$% latex2html id marker 15569\begin{array}{ll} \displaystyl... ...ac{\sigma _{j}}{\left\Vert \sigma _{j}\right\Vert } \end{array}$$

$\qedsymbol$

Composantes

$\forall \psi \in \mathbb{F},\quad \boxed{\psi =\sum _{i=1}^{D}c_{i}\varphi _{i}}$ avec $c_{i}=\left< \varphi _{i},\psi \right>$
en effet $\left< \varphi _{i},\sum _{j=1}^{D}c_{j}\varphi _{j}\right> =\sum _{j}c_{j}\left< \varphi _{i},\varphi _{j}\right> =c_{i}$

Produit scalaire

$\boxed{\left< \psi ,\psi '\right> =\sum _{i=1}^{D}c_{i}^{*}c_{i}'}$
en effet $\left< \psi ,\psi '\right> =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}'\left< \varphi _{i},\varphi _{j}\right>$

Éléments de matrice d'un opérateur

image des vecteurs de base.

$$% latex2html id marker 15581\begin{array}{ll} A\varphi _{j... ...a_{ij}=\left< \varphi _{i},A\varphi _{j}\right> }& \end{array}$$

Connaissant $\left\{ a_{ij}\right\}$, on peut calculer l'image de tout vecteur:
$$\psi '=A\psi =A\sum _{j}c_{j}\varphi _{j}=\sum _{j}\sum _{i}c_{j... ...phi _{i}a_{ij}=\sum _{i}\varphi _{i}\underbrace{\sum _{j}a_{ij}c_{j}}_{c'_{i}}$$

• $\delta _{ij}=\left< \varphi _{i},\mathbb{1}\varphi _{j}\right>$: ce sont les éléments de matrice de l'opérateur identité $\mathbb{1}$
• Produit: $$C=AB\Leftrightarrow c_{ij}=\sum _{k=1}^{D}a_{ik}b_{kj}$$ (produit matriciel)
• Adjoint: $B=A^{\dagger }\Leftrightarrow b_{ij}=a_{ij}^{*}$
• Hermitien: $H=H^{\dagger }\Leftrightarrow h_{ij}=h_{ij}^{*}\; h_{ii}$ réels

Changement de base

Soient $2$ bases orthonormées $\left\{ \varphi _{i}\right\}$ et $\left\{ \varphi _{j}'\right\}$.

$$% latex2html id marker 15603\begin{array}{lll} \forall j:\... ..._{ij}V_{jk} & \rightarrow U_{ij}V_{jk}=\delta _{ij} \end{array}$$

avec la convention d'Einstein (indice répété = somme sur cet indice), on a donc:

$$UV=\mathbb{1}$$

De même $\varphi _{j}'=\varphi _{l}'V_{lk}U_{kj}\quad \cdots \Rightarrow VU=\mathbb{1}$
D'après ces deux équations, on peut dire que $\boxed{U=V^{-1}}$
Or $U_{ij}=\left< \varphi _{i},\varphi _{j}'\right> =\left< \varphi _{j}',\varphi _{i}\right> ^{*}=V_{ji}^{*}\Rightarrow \boxed{U=V^{\dagger }}$

$$\Rightarrow U^{\dagger }=U^{-1}$$

$U$ est donc une matrice unitaire (respecte les produits scalaires, en particulier ceux des vecteurs de base)

• Composantes: $$\psi =\sum _{i}c_{i}\varphi _{i}=\sum _{j}c_{j}'\varphi _{j}'=\sum _{i,j}\varphi _{i}\underbrace{{U_{ij}c_{j}'}}_{c_{i}}$$
  
  $$\left. \left( \begin{array}{c} c_{1}... ...{array}{c} c_{1}\\ \vdots \\ c_{D} \end{array}\right) \right\downarrow _{i}$$

• Eléments de matrices:
  
  $$% latex2html id marker 15621\begin{array}{ll} a_{j_{1}j_{2... ... & =\left< \varphi ,U^{\dagger }AU\varphi \right> \end{array}$$
  $$\Rightarrow \boxed{a_{j_{1}j_{2}}'=\left( U^{\dagger }\right) _{j_{1}i_{1}}\left( a_{i_{1}i_{2}}\right) \left( U\right) _{i_{2}j_{2}}}$$