2.8 Produit tensoriel

Constatation naïve: les matrices $3\times 3$ forment un espace vectoriel à $9$ dimensions $\equiv \mathbb{E}_{3}\otimes \mathbb{E}_{3}$.

2.8.1 Espace produit  $\mathbb{F}\otimes \mathbb{F}'\protect$

Si $\left\{ \begin{array}{l} \psi \in \mathbb{F}\\ \psi '\in \mathbb{F}' \end{array}\right.$ alors on peut définir $\Psi$ tel que $\Psi \doteq \psi \otimes \psi '\in \mathbb{F}\otimes \mathbb{F}'$

On a par définition pour l'opération $\otimes$:

1. linéaire: $\left( c\psi \right) \otimes \psi '=c\left( \psi \otimes \psi '\right) =\psi \otimes \left( c\psi '\right)$
2. distributive: $\left\{ \begin{array}{l} \psi \otimes \left( \psi _{1}'+\psi _{2}'\right) =\ps... ...imes \psi '=\psi _{1}\otimes \psi '+\psi _{2}\otimes \psi ' \end{array}\right.$
3. Si $\left\{ \begin{array}{ll} \left\{ \varphi _{i}\ri... ... & \mathrm{est}\, \mathrm{base}\, \mathrm{de}\, \mathbb{F}' \end{array}\right.$,
   $\begin{array}{ll} \mathrm{alors}\, \left\{ \Phi _... ...s \varphi _{2}',\ldots ,\varphi _{D}\otimes \varphi _{D}'\right\} \end{array}$
   forme une base de $\mathbb{F}\otimes \mathbb{F}'$ qu'on écrira ainsi:
   $\begin{array}{ll} \left\{ \Phi _{I}\right\} = & \... ...vdots \\ & \left. \Phi _{(D-1)D'+1},\ldots ,\Phi _{DD'}\right\} \end{array}$ avec $I=1,\ldots DD'$ où $DD'=\dim \left( \mathbb{F}\otimes \mathbb{F}'\right)$

2.8.2 Composantes

$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \psi =\sum... ...b{F}\\ \psi '=\sum _{j}c_{j}'\varphi _{j}'\in \mathbb{F}' \end{array}\right.$ $$\Rightarrow \Psi =\psi \otimes \psi '=\sum _{i,j}\underbrace{{c_... ...}'}}_{c_{ij}}\varphi _{i}\otimes \varphi _{j}'=\sum _{I=1}^{DD'}c_{I}\Phi _{I}$$ où les $c_{ij}$ sont les produits des $c_{i}$ et des $c_{j}'$.

Mais en général, on a une matrice $c_{ij}\, D\times D'$ de composantes linéairement indépendantes.

2.8.3 Produit scalaire

Si $\left\{ \begin{array}{l} \left< \psi _{1},\psi _{... ...2}'\right> \, \mathrm{existe}\, \mathrm{dans}\, \mathbb{F}' \end{array}\right.$

alors $\left< \Psi _{1},\Psi _{2}\right> =\left< \psi _{1}\otimes \psi _{1}',\psi _{2... ...> \doteq \left< \psi _{1},\psi _{2}\right> \left< \psi _{1}',\psi _{2}'\right>$est un bon produit scalaire dans $\mathbb{F}\otimes \mathbb{F}'$

Exemple   $\left< \phi _{ij},\phi _{kl}\right> =\delta _{ik}... ...hrm{si}\, \{\varphi _{i}\}\, \mathrm{et}\, \{\varphi _{j}'\}\, \mathrm{aussi}.$

2.8.4 Produit tensoriel d'opérateurs linéaires

$\boxed{\mathbb {A}\doteq A\otimes A'}$: $\Psi =\psi \otimes \psi '\rightarrow \boxed{\mathbb {A}\Psi =\left( A\psi \right) \otimes \left( A'\psi '\right) }$

$\Rightarrow$ Si $\mathbb{B}=B\otimes B'$ alors $\underbrace{{\mathbb{AB}}}_{\mathrm{Produit}\, \m... ...hbb{F}}\otimes \underbrace{{\left( A'B'\right) }}_{\mathrm{sur}\, \mathbb{F}'}$

Cas particulier

$\left\{ \begin{array}{l} \mathrm{si}\, \mathrm{A}... ...\, \mathbb{F}'\longrightarrow \mathbb{F}\otimes \mathbb{F}' \end{array}\right.$,
on a alors $\mathbb{AB}=\left( A\mathbb{1}\right) \otimes \le... ...ht) =A\otimes B'=\mathbb{BA}\Rightarrow \left[ \mathbb{A},\mathbb{B}\right] =0$. En pratique, on prolongera tout opérateur de $\mathbb{F}$ ou $\mathbb{F}'$ par cette méthode, et $\left\{ \begin{array}{l} \mathbb{A}\leftrightarrow A\\ \mathbb{B}\leftrightarrow B \end{array}\right.$(par abus de notation) $\rightarrow \left[ A,B'\right] =0$

Exemple   $\mathbb{F}=\left\{ \psi (x)\right\}$; $\mathbb{F}'=\left\{ \psi '(y)\right\} ;\mathbb{F}\otimes \mathbb{F}'=\left\{ \Psi (x,y)\right\}$ $\rightarrow \left[ X,D_{y}\right] \doteq \left[ X\otimes \mathbb{1}_{y},\mathbb{1}_{x}\otimes D_{y}\right] =0$

2.8.5 Éléments de matrice

Si $\mathbb{A}=A\otimes A'$

alors $\begin{array}{ll} \left< \phi _{ij},\mathbb{A}\ph... ...> \left< \varphi _{j}',A'\varphi _{l}\right> \\ & =a_{ik}a'_{jl} \end{array}$

$\rightarrow \mathbb{A}=\left( \begin{array}{ccc} ... ...rray}{c} c_{D1}\\ \vdots \\ c_{DD'} \end{array}\right) \end{array}\right)$ où $A'$ est une matrice $D'\times D'$ et les $c_{kl}$ sont des vecteurs colonnes ( $k:1\rightarrow D$ et $l:1\rightarrow D'$)

$\mathbb{A}$ est une matrice de matrices.

2.8.6 Tenseur d'ordre $n$

Si $\mathbb{F}=\mathbb{F}'$.

$\begin{array}{ll} \mathbb{F}=\left\{ \sum _{i}^{D... ...i_{n}}\right\} & \mathrm{tenseurs}\, \mathrm{d}'\mathrm{ordre}\, n \end{array}$

Sous un changement de base, $$\varphi _{j}'=\sum _{i}\varphi _{i}U_{ij}$$ , on a: $$c_{i_{1}\ldots i_{n}}'=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}}U_{i_{1}j_{1}}\ldots U_{i_{n}j_{n}}c_{j_{1}\ldots j_{n}}$$ (linéarité,distributivité,$\ldots$)

2.8.7 Symétrie de tenseurs

On peut décomposer l'espace de tenseurs d'ordre 2 en 2 sous-espaces:

$$% latex2html id marker 15751\begin{array}{lll} \mathbb{G}=... ..._{j}\right\} & \quad \mathrm{avec}\; A_{ij}=-A_{ji} \end{array}$$

$$% latex2html id marker 15753\begin{array}{ll} \rightarrow ... ...{2}\left( c_{ij}-c_{ji}\right) \end{array}\right. \end{array}$$

$$\rightarrow \left\{ \begin{array}{ll... ...} & \rightarrow \frac{D\times (D-1)}{2}\; \mathrm{vecteurs} \end{array}\right.$$

Exemple   Normalisation.