1.1 Equation de la chaleur

1.1.1 Conservation de la chaleur:

En chaque point:

$$\frac{\partial q}{\partial t}+\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{J}=s$$

$q=$quantité

de chaleur/unité de volume $(J/m^{3})$

$\overrightarrow{J}=$courant

de chaleur $(J/m^{3}/s)$

$s=$source

de chaleur $(=0)$

Il y a conservation car en l'absence de sources $(s=0)$, $q$ ne peut changer qu'en créant un courant de chaleur. Le courant $\overrightarrow{J}$ ``emporte'' la chaleur si $\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{J}>0$. Dans un volume $V$ fixé, on a une variation de la chaleur totale:

$$\frac{dQ}{dt}=\frac{d}{dt}\int _{V}d... ...a }.\overrightarrow{J}=-\int d^{2}S\, \overrightarrow{1}_{n}.\overrightarrow{J}$$

$=$- (flux de $\overrightarrow{J}$ sortant), où $d^{2}S$ est un élément de surface sur le bord de $V$.

1.1.2 Relations à la température:

1. Une variation de température entraîne une variation de la quantité de chaleur :
   $$dq=\rho c_{p}dT$$
   si $\rho =$densité $(kg/m^{3})$ et $c_{p}=$capacité calorifique $(J/^{\circ }K/kg)$
2. Le flux de chaleur est induit par une différence spatiale de température (Loi de Fourier):
   $$\overrightarrow{J}=-\kappa \overrightarrow{\nabla }T$$
   • le signe ``$-$'' est dû au fait que le courant de chaleur va du plus chaud au plus froid
   • le $\overrightarrow{\nabla }$ est dû au fait que le courant de chaleur est proportionnel au gradient de température.
   • la constante de proportionnalité $\kappa$ est la conductivité thermique du matériau $(W/^{\circ }K/m)$ ($\sim$ conductivité électrique pour les métaux: $e^{-}$transportent à la fois électricité et chaleur...). À titre indicatif, $\kappa$ vaut 390 pour le cuivre et 0,025 pour l'air

En insérant ces deux relations dans l'équation de conservation, on arrive à l'équation de la chaleur

$$\frac{\partial T}{\partial t}-D(\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{\nabla })T=0$$ (1.1.1)

à laquelle toute distribution de température physique $T(x,y,z,t)$ doit obéir. Dans cette équation, $\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{\nabla }T=\Delta T\doteq \partial ^{2}_{x}T+\partial _{y}^{2}T+\partial ^{2}_{z}T$ est le Laplacien scalaire, et $D$ est le coefficient de diffusion thermique $(m^{2}/s)$ valant $\frac{\kappa }{\rho c_{p}}=\frac{390}{3,5.10^{6}}=1,1.10^{-4}$ pour le cuivre et $\frac{0,025}{24,500.10^{6}*29,2}=2,1.10^{-5}$ pour l'air. Son interprétation microscopique est simple: $D\sim v\lambda .$ est le produit de la vitesse moyenne $v$ des particules transportant la chaleur par leur libre parcours moyen $\lambda$ entre 2 collisions.