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Sous-sections

1.1 Equation de la chaleur

1.1.1 Conservation de la chaleur:

En chaque point:

$\displaystyle \frac{\partial q}{\partial t}+\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{J}=s$

$ q= $quantité
de chaleur/unité de volume $ (J/m^{3}) $
$ \overrightarrow{J}= $courant
de chaleur $ (J/m^{3}/s) $
$ s= $source
de chaleur $ (=0) $
Il y a conservation car en l'absence de sources $ (s=0) $, $ q $ ne peut changer qu'en créant un courant de chaleur. Le courant $ \overrightarrow{J} $ ``emporte'' la chaleur si $ \overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{J}>0 $. Dans un volume $ V $ fixé, on a une variation de la chaleur totale:

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$\displaystyle \frac{dQ}{dt}=\frac{d}{dt}\int _{V}d...
...a }.\overrightarrow{J}=-\int d^{2}S\, \overrightarrow{1}_{n}.\overrightarrow{J}$

$ = $- (flux de $ \overrightarrow{J} $ sortant), où $ d^{2}S $ est un élément de surface sur le bord de $ V $.

1.1.2 Relations à la température:

  1. Une variation de température entraîne une variation de la quantité de chaleur :

    $\displaystyle dq=\rho c_{p}dT$

    si $ \rho = $densité $ (kg/m^{3}) $ et $ c_{p}= $capacité calorifique $ (J/^{\circ }K/kg) $
  2. Le flux de chaleur est induit par une différence spatiale de température (Loi de Fourier):

    $\displaystyle \overrightarrow{J}=-\kappa \overrightarrow{\nabla }T$

En insérant ces deux relations dans l'équation de conservation, on arrive à l'équation de la chaleur

$\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}-D(\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{\nabla })T=0$ (1.1.1)

à laquelle toute distribution de température physique $ T(x,y,z,t) $ doit obéir. Dans cette équation, $ \overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{\nabla }T=\Delta T\doteq \partial ^{2}_{x}T+\partial _{y}^{2}T+\partial ^{2}_{z}T $ est le Laplacien scalaire, et $ D $ est le coefficient de diffusion thermique $ (m^{2}/s) $ valant $ \frac{\kappa }{\rho c_{p}}=\frac{390}{3,5.10^{6}}=1,1.10^{-4} $ pour le cuivre et $ \frac{0,025}{24,500.10^{6}*29,2}=2,1.10^{-5} $ pour l'air. Son interprétation microscopique est simple: $ D\sim v\lambda . $ est le produit de la vitesse moyenne $ v $ des particules transportant la chaleur par leur libre parcours moyen $ \lambda $ entre 2 collisions.


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2000-10-06