5.3 Équations d'ordre supérieur

Théorème   Soit $\boxed{y^{n/}(t)=f\left( t,y,\dot{y},\ldots ,y^{n-1/}\right) }$ est un problème de Cauchy (C.I.)

Si $f$ est continue en ses variables autour d'un point $\left( t_{0},y_{0},\ldots ,y_{0}^{n-1/}\right)$ alors $\exists \, \Delta t>0$ pour lequel une solution $y(t)$ existe dans $\vert t-t_{0}\vert<\Delta t$.

Si $\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial \dot{y}},\ldots ,\frac{\partial f}{\partial y^{n-1/}}$ sont bornées, $y(t)$ est unique.

Définition   Solution générale

Une famille à $n$ paramètres $y=\varphi (t,c_{1},\ldots ,c_{n})$ est une solution générale de l'équation différentielle d'ordre $n$ $\Leftrightarrow \forall$ choix des CI de Cauchy $y_{0},\dot{y}_{0},\ldots ,y_{0}^{n-1/}$ il existe des $\left( C_{1}^{0},\ldots ,C_{n}^{0}\right)$ tels que $y(t)=\varphi \left( t;C_{1}^{0},\ldots ,C_{n}^{0}\right)$ soit solution.

Note   On va prendre dans la suite: Solution Générale $\leftrightarrow$ S.G.

Définition   Solution Particulière

$y(t)=\varphi (t;\: c_{1}\cdots c_{n})$ pour un choix particulier des paramètres $\{c_{1}\cdots c_{n}\}$

Note   De même, Solution Particulière $\leftrightarrow$ S.P.

Cas particuliers de réduction de l'ordre

 

• $y^{n/}=f\left( t,\; .\; ,\dot{y},\ldots ,y^{n-1/}\right)$ où $y$ n'apparaît pas.
  $\rightarrow$ on pose une nouvelle inconnue $v(t)\doteq \dot{y}(t)$, en laquelle on a une équation d'ordre $(n-1)$; connaissant $v(t)$, on a $y(t)$ par intégration sur $t$.
• $y^{n/}=f\left( \; .\; ;y,\dot{y},\ldots ,y^{n-1/}\right)$ où $t$ n'apparaît pas.
  $\rightarrow$ on pose:
  
  $$% latex2html id marker 16881\begin{array}{rll} \dot{y}(t)=... ...y,v,\ldots ,v^{n-2/}\right) & \text {ordre\, }(n-1) \end{array}$$
  Connaissant $v(y)$, on obtient $t(y)$ par l'équation séparée: $dt(y)=\frac{dt}{dy}\cdot dy=\frac{dy}{v(y)}$

Exemple   Mécanique

$$% latex2html id marker 16889\begin{array}{ll} \displaystyl... ... }} & \textrm{temps de parcours sur la trajectoire} \end{array}$$