5.4 Équations linéaires d'ordre $n$

$L[y]=\left[ \left( \frac{d}{dt}\right) ^{n}+f_{1}(t)\left( \frac{d}{dt}\right) ^{n-1}+\cdots f_{n-1}(t)\frac{d}{dt}+f_{n}(t)\right] y(t)=g(t)$

Cette équation différentielle linéaire est dite:

• homogène si $g\equiv 0$
• non-homogène si $g\neq 0$

5.4.1 Théorème

Théorème   Si les $f_{1}(t),\ldots ,f_{n}(t)$ sont continues (resp. holomorphes) dans un domaine $D=\{t\: :\: \vert t-t_{0}\vert<\Delta t\}$, alors il existe une solution unique pour des C.I. arbitraires $y(t_{0})=y_{0}$, $\dot{y}(t_{0})=\dot{y}_{0}$, $\ldots y^{n-1/}(t_{0})=y^{n-1/}_{0}$ et cette solution est continue (resp. holomorphe) dans $D$ avec ses dérivées $\dot{y},\ddot{y},\ldots ,y^{n/}$ (REM: pas seulement $y^{n-1/}$).

Remarque   Sur ce théorème:

• faux si pas linéaire.
  Contre-exemple: $\left\{ \begin{array}{l} \dot{y}=y^{2}\\ y(0)=1 \end{array}\right. \rightarrow y(t)=\frac{1}{1-t}$ $\rightarrow$ pôle en $t=1$, malgré coefficients continus.
• inversément: $f_{1},\cdots f_{n}$ singulières n'entraîne pas $y(t)$ singulier.
  Contre-exemple: $y=2t$ est solution de $\dot{y}-\frac{1}{t}y=0$ avec $\frac{1}{t}\longrightarrow$ singulier en $0$.

5.4.2 Principe de superposition (EDLH)

Si $y_{1},y_{2},\cdots y_{m}(t)$ sont solutions d'une EDLH, alors $$y(t)=\lim \sum _{i=1}^{m}c_{i}y_{i}(t)$$ est aussi solution.

$\rightarrow$ on a un espace vectoriel de solutions équivalent à $\textrm{Ker}(L)$

Élément neutre

$y(t)\equiv 0,$ solution pour $y_{0}=\dot{y}_{0}=\cdots =y^{n-1/}_{0}=0$ et cette solution est unique grâce au théorème précédent.

Dimension de Ker$(L)$

Grâce au même théorème, $\dim \left( \textrm{Ker}(L)\right) =n$.

$$\boxed{\begin{array}{rl} \left( \beg... ...L)\\ & \\ \Longleftarrow ?\quad & \textrm{matrice Wronskienne} \end{array}}$$

5.4.3 Définition

Définition   Matrice Wronskienne:

Si on a $n$ solutions $\{y_{1},\ldots ,y_{n}(t)\},$ on construit la matrice carrée:

$$% latex2html id marker 16963\begin{array}{ll} \overline{\o... ... \cdots & & y_{n}^{n-1/}(t_{0}) \end{array}\right) \end{array}$$

$\rightarrow$ Pour une combinaison linéaire arbitraire de cette base $$y(t)=\sum c_{i}y_{i}(t)$$, on a:

$$% latex2html id marker 16969\begin{array}{ll} \left( \begi... ...0}\\ \vdots \\ y^{n-1/}_{0} \end{array}\right) \end{array}$$

$\rightarrow$ On pourra trouver les $c_{i}$ en fonction des C.I. en $t_{0}$ si et seulement si $\det \overline{\overline{W}}_{n}\neq 0$.
$\Longrightarrow$ Solution générale de l'équation diférentielle linéaire homogène (SGEDLH) pour le problème de Cauchy.

5.4.4 Définition

Définition   On définit le Wronskien de $n$ solutions par:

$$% latex2html id marker 16985\begin{array}{ll} W_{n}(y_{1}\... ... \: \textrm{base des solutions} \end{array}\right. \end{array}$$

Si $\{y_{1}\cdots y_{n}\}$ est une base des solutions de $L[y]=0$, tout $y$ est une combinaison linéaire des $\{y_{1}\cdots y_{n}\}\rightarrow \{y_{1},\cdots y_{n},y\}$ linéairement indépendants.

$$\rightarrow W_{n+1}(y_{1}\cdots y_{n},y;t)=0$$

En fait: $\frac{W_{n+1}(y_{1}\cdots y_{n},y;t)}{W_{n}(y_{1}\cdots y_{n};t)}=L[y]$ avec $W_{n+1}=\left( \begin{array}{llll} y_{1} & \cdots... ...ots & \vdots \\ y_{1}^{n/} & \cdots & y_{n}^{n/} & y^{n/} \end{array}\right)$

$L[y]$ est un opérateur différentiel linéaire et le coefficient de $\left( \frac{d^{n}y}{dt^{n}}\right)$ est $1$: on calcule $\left( f_{1}\cdots f_{n}\right)$ en fonction des $(y_{1}\cdots y_{n})$ donnés.

5.4.5 Système fondamentale (en $t_{0}$)

Définition   Si $\overline{\overline{W}}_{n}(y_{1}\cdots y_{n};t_{0})=\mathbb{1}_{n\times n}$ on dit que les fonctions $\{y_{1}\cdots y_{n}\}$ forment un système fondamentale.

Avantage: $\overline{\overline{W}}_{n}(t_{0})=\overline{\ove... ...\ c_{2}=\dot{y}_{0}\\ \: \vdots \\ c_{n}=y_{n}^{n-1/} \end{array}\right.$

5.4.6 Formule de Liouville

Pour un ensemble de $n$ solutions QCD, $W_{n}(y_{1}\cdots y_{n};t)=W_{n}(y_{1}\cdots y_{n};t_{0})\cdot \exp \left[ -\int _{t_{0}}^{t}dt'\, f_{1}(t')\right]$ $\rightarrow$ $W_{n}$ est donc $\left\{ \begin{array}{l} \textrm{soit nul }\Leftr... ...trm{e}}\textrm{pendance lin}\acute{\textrm{e}}\textrm{aire} \end{array}\right.$$\forall t$, tant que $f_{1}(t)$ est intégrable.

Contre-exemple: $\forall t\sim t_{\ast }\: :\: f_{1}(t)\sim \left( t-t_{\ast }\right) ^{-1-\epsilon },\: \epsilon >0$ : singularité forte de EDL en $t=t_{\ast }$

5.4.7 Méthode de Lagrange (variation des constantes)

SGENH=SGEH+SPENH car la différence de deux SENH est solution de l'équation homogène. (SPENH=solution particulière de l'équation non-homogène)

Si on connaît la SGEH $\Leftrightarrow$ $\{y_{1}\cdots y_{n}\}$ avec $W_{n}\neq 0$ (par exemple: le système fondamentale), on peut trouver une SPENH de la forme:

$$% latex2html id marker 17049\begin{array}{ll} y(t)=c_{i}(t... ..._{n-1}(t)+\ddot{R}_{n-2}(t)+\cdots +R_{1}^{n-1/} & \end{array}$$

$\rightarrow L[y]=c_{i}\overbrace{L[y_{i}]}^{=0}+R... ...R}_{1}\right) \, f_{n-2}+\left( R_{n}+R_{n-1}+\cdots R^{n-1/}_{1}\right) =g(t)$

$\rightarrow$ On a une solution en prenant: $R_{1}=R_{2}=\cdots =R_{n-1}=0\, ;\, R_{n}=g(t)$. Mais on a:

$$% latex2html id marker 17057\begin{array}{ll} \displaystyl... ...Z_{i}(t')\right) y_{i}(t) & \textrm{avec }K_{i}=cte \end{array}$$

$y(t)$ est une SPENH.

On peut prendre par exemple $:\textrm{ }Z_{1}(t)=g(t)(-1)^{n-1}\frac{W_{n-1}(y_{2}\cdots y_{n},t)}{W_{n}(y_{1}\cdots y_{n},t)}$

Comment trouver la SGEH?

5.4.8 Réduction de l'ordre

Si on connaît une solution $y_{1}(t)$.

$\rightarrow L[y]=0,$ on pose:

$$\begin{array}{l} y(t)=z(t)y_{1}(t)\\ \dot{y}(t)=z(t)\dot{y... ...(t)y^{n/}_{1}(t)+\dot{z}(\quad )+\cdots z^{n/}y_{1} \end{array}$$

$\rightarrow \, L[y]=z(t)\underbrace{L[y_{1}]}_{\equiv 0}+\dot{z}(\quad )+\cdots z^{n/}y_{1}=0$

$\rightarrow \, z$ n'apparaît pas: on pose une nouvelle inconnue $u=\dot{z}$, et on a une équation d'ordre $(n-1)$ en $u(t)$

Exemple   $n=2$: $L[y]=\ddot{y}(t)+f_{1}(t)\dot{y}(t)+f_{2}(t)y(t)=z(t)\underbrace{L[y_{1}]}_{\equiv 0}+\dot{z}(t)(2\dot{y}_{1}+f_{1}y_{1})+\ddot{z}y_{1}=0$

$\begin{array}{l} \displaystyle \rightarrow \frac{... ...)}\exp \int ^{t'}_{t_{0}}\! dt''\left[ -f_{1}(t'')\right] \right] \end{array}$

5.4.9 Coefficients constants

Tous les $f_{i}(t)=a_{i}$ où $a_{i}=cte,\, \forall i.$

On pose $y(t)=e^{rt}\, \rightarrow \, y^{n/}(t)=r^{n}e^{rt}$

$\rightarrow L[y]=e^{rt}\left( r^{n}a_{1}r^{n-1}+\cdots +a_{n-1}r+a_{n}\right) =e^{rt}k(r)=0$

$\rightarrow$ équation caractéristique: $k(r)=0$ (polynôme de degré $n$)

il y a donc $m\le n$ racines distinctes $$k(r)=\prod ^{m}_{i=1}(r-r_{i})^{g_{i}}\: ;\: \sum ^{m}_{i=1}g_{i}=n$$

$$\displaystyle \rightarrow L[y]=\prod ^{m}_{i=1}\left( \frac{d}{dt}-r_{i}\right) ^{g_{i}}y(t)$$

• $\bold {m=n\, :}\:$ $\begin{array}{ll} \rightarrow g_{1}=\cdots =g_{n}... ...nt }m=n\textrm{ solutions ind}\acute{\textrm{e}}\textrm{pendantes} \end{array}$
• $\bold {m<n\, :}\:$ il y a des $g_{i>1}\Rightarrow$ on pose $y_{i}(t)=e^{r_{i}t}p_{i}(t)$ où les $p_{i}$ sont des polynômes de degré $(g_{i}-1)$

Exemple   Supposons $g_{1}=3,$ posons $y_{1}(t)=e^{r_{1}t}p_{1}(t),$ et il faut trouver $3$ solutions indépendantes de l'équation:

$$% latex2html id marker 17129\begin{array}{ll} \left( \frac... ... =e^{r_{1}t}\left( \frac{d}{dt}\right) ^{3}p_{1}(t) \end{array}$$

$$\Rightarrow p_{1}(t)=c_{1}t^{2}+c_{2}t+c_{3}$$

$p_{1}$ appartient à un espace-vectoriel de dimension $3$.