Cette équation différentielle linéaire est dite:
Si sont solutions d'une EDLH, alors est aussi solution.
on a un espace vectoriel de solutions équivalent à
Si on a solutions
on construit la
matrice carrée:
Pour une combinaison linéaire arbitraire de cette base , on a:
On pourra trouver les en fonction des C.I.
en si et seulement si
.
Solution générale de l'équation diférentielle linéaire
homogène (SGEDLH) pour le problème de Cauchy.
Si est une base des solutions de , tout est une combinaison linéaire des linéairement indépendants.
En fait: avec
est un opérateur différentiel linéaire et le coefficient de est : on calcule en fonction des donnés.
Avantage:
Pour un ensemble de solutions QCD, est donc , tant que est intégrable.
Contre-exemple: : singularité forte de EDL en
SGENH=SGEH+SPENH car la différence de deux SENH est solution de l'équation homogène. (SPENH=solution particulière de l'équation non-homogène)
Si on connaît la SGEH avec (par exemple: le système fondamentale), on peut trouver une SPENH de la forme:
On a une solution en prenant: . Mais on a:
est une SPENH.
On peut prendre par exemple
Comment trouver la SGEH?
Si on connaît une solution .
on pose:
n'apparaît pas: on pose une nouvelle inconnue , et on a une équation d'ordre en
Tous les où
On pose
équation caractéristique: (polynôme de degré )
il y a donc racines distinctes
appartient à un espace-vectoriel de dimension .