7.6 Équations elliptiques: $\det p_{ij}>0\protect$ (électrostatique)

Elles n'ont pas de caractéristiques réelles; pour $n=2$, $x_{+}(x_{1},x_{2})=x_{-}^{\ast }(x_{1},x_{2})$.

On pose $x_{\pm }\doteq x\pm t=x\pm iy$ avec $y\in \mathbb{R}$.

$$% latex2html id marker 18084\begin{array}{lr} \rightarrow ... ...+p_{y}\partial _{y}z+pz=0}& \bold {forme\, normale} \end{array}$$

Supposons $p_{x}=p_{y}=p=0,$ alors $L[z]=\Delta z$ (laplacien à $2$ dimensions)

7.6.1 Problème de Cauchy

C'est-à-dire des C.I. sur $\Gamma$ qui n'est pas une courbe caractéristique. Le problème de Cauchy est un problème mal posé (au sens d'Hadamard) car instabilité par rapport aux C.I.

Exemple   $\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} \Delta... .... & \rightarrow h(x,y)=\frac{1}{n^{2}}\sinh ny\, \sin nx\textrm{ } \end{array}$

$\rightarrow h$ croît sans limites à grand $y.$

$\rightarrow$ Si $z$ est solution de $\Delta z=0$ avec les C.I. $\left\{ \begin{array}{l} z(x,y_{0})=\varphi _{0}(x)\\ \partial _{y}z(x,y_{0})=\varphi _{1}(x) \end{array}\right.$

$z+\epsilon h$ est solution pour des C.I. à peine différentes (petit $\epsilon$).

Cette petite différence est exponentiellement amplifiée, et à une distance $y\sim \frac{1}{n}\ln \frac{\epsilon }{n^{2}}$, elle devient d'ordre $1$!

7.6.2 Problème au bord

C'est un problème bien posé. Exemple:

trouver $\left\{ \begin{array}{ll} \Delta z=0 & \quad \tex... ...\textrm{ sur }\partial D & \quad (\textrm{PB de Dirichlet}) \end{array}\right.$ ou $\left\{ \begin{array}{ll} \Delta z=0 & \quad \tex... ...}}\textrm{ sur }\partial D & \quad (\textrm{PB de Neumann}) \end{array}\right.$

Remarque   $z$ est analytique à l'intérieur, même si les conditions au ne le sont pas.

7.6.3 Fonction de Green

$$\displaystyle \Delta G(x,x')=\sum ^{n}_{i=1}\partial _{i}^{2}G(\vec{x},\vec{x}')=-\delta ^{n}(\vec{x}-\vec{x}')$$

$$% latex2html id marker 18130\begin{array}{lll} n=2\qquad &... ...{1}{\left\vert \vec{x}-\vec{x}'\right\vert ^{2}} & \end{array}$$