8.1 Fonction Gamma d'Euler

8.1.1 Définition

$$\Gamma (x)=\int _{0}^{+\infty }dt\; t^{x-1}\, e^{-t}$$ (8.1.1)

Cette définition donne un nombre réel positif pour tout $x>0$. Elle reste aussi valable dans le demi-plan complexe ${\rm Re}(x)>0$.

Figure 8.1.1: Graphe de la fonction $\Gamma (x)$ le long de l'axe $x$ réel.

8.1.2 Propriétés

1. Récurrence: (se démontre par parties)

   $$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$$ (8.1.2)

   
   
   Cette relation ne se déduit de (8.1.1) que pour ${\rm Re}(x)>0$, mais permet le prolongement analytique de $\Gamma (x)$ dans tout le plan complexe, donnant des pôles en $x=-n$.
2. $\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}=1$
3. Factorielle: pour $n$ entier,

   $$\Gamma (n+1)=n!$$ (8.1.3)

   
   

4. $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$.^8.1
5. Formule de Stirling: série asymptotique pour $x\rightarrow \infty$,

   $$\Gamma (x+1)\sim \sqrt{2\pi }x^{x+\frac{1}{2}}e^{-x}\, \left[ 1+\frac{1}{12x}+O(\frac{1}{x^{2}})\right]$$ (8.1.4)

   
   

6. Si $\Gamma$ est vu comme une généralisation de la factorielle, on peut également généraliser les coefficients binomiaux:^8.2

   $$B(x,y)\doteq \frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}=\int _{0}^{1}dt\, t^{x-1}(1-t)^{y-1}$$ (8.1.5)