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8.1 Fonction Gamma d'Euler

8.1.1 Définition

% latex2html id marker 18221
$\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{+\infty }dt\; t^{x-1}\, e^{-t}$ (8.1.1)

Cette définition donne un nombre réel positif pour tout $ x>0 $. Elle reste aussi valable dans le demi-plan complexe % latex2html id marker 18225
$ {\rm Re}(x)>0 $.

Figure 8.1.1: Graphe de la fonction $ \Gamma (x)$ le long de l'axe $ x$ réel.
\includegraphics{gamma.eps}

8.1.2 Propriétés

  1. Récurrence: (se démontre par parties)

    $\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ (8.1.2)

    Cette relation ne se déduit de (8.1.1) que pour % latex2html id marker 18245
$ {\rm Re}(x)>0 $, mais permet le prolongement analytique de $ \Gamma (x)$ dans tout le plan complexe, donnant des pôles en $ x=-n $.
  2. $ \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}=1 $
  3. Factorielle: pour $ n$ entier,

    $\displaystyle \Gamma (n+1)=n!$ (8.1.3)

  4. $ \Gamma (1/2)=\sqrt{\pi } $.8.1
  5. Formule de Stirling: série asymptotique pour $ x\rightarrow \infty $,

    % latex2html id marker 18269
$\displaystyle \Gamma (x+1)\sim \sqrt{2\pi }x^{x+\frac{1}{2}}e^{-x}\, \left[ 1+\frac{1}{12x}+O(\frac{1}{x^{2}})\right]$ (8.1.4)

  6. Si $ \Gamma $ est vu comme une généralisation de la factorielle, on peut également généraliser les coefficients binomiaux:8.2

    % latex2html id marker 18279
$\displaystyle B(x,y)\doteq \frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}=\int _{0}^{1}dt\, t^{x-1}(1-t)^{y-1}$ (8.1.5)


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2000-10-06