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Sous-sections

8.2 Équation et fonction hypergéométrique de Gauss

8.2.1 Définition


$\displaystyle F(\alpha ,\beta ,\gamma ;t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{\Gamma (n+1+\alpha )}{\Gamma (1+\alpha...
...amma (1+\beta )}\frac{\Gamma (1+\gamma )}{\Gamma (n+1+\gamma )}\frac{t^{n}}{n!}$ (8.2.1)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1+\frac{\alpha \beta }{\gamma .1}t+\frac{\alpha (\alpha +1).\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1).1.2}t^{2}+\ldots$ (8.2.2)

C'est une solution de l'équation hypergéométrique de Gauss

$\displaystyle t(1-t)\ddot{y}+(\gamma -(\alpha +\beta +1)t)\dot{y}-\alpha \beta y=0$ (8.2.3)

qui possède uniquement 3 singularités régulières en $ t=0,1,\infty $. Une base de solutions en $ t=0 $ est $ y_{1}(t)=F(\alpha ,\beta ,\gamma ;t) $; $ y_{2}(t)=t^{1-\gamma }F(\alpha -\gamma +1,\beta -\gamma +1,2-\gamma ;t) $.

8.2.2 Propriétés

  1. Rayon de convergence: si % latex2html id marker 18314
$ \gamma \not =0,-1,-2,\ldots $, la série converge pour

    $\displaystyle \vert t\vert<\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1.$ (8.2.4)

  2. Pour $ \beta =-m $, entier négatif, $ F(\alpha ,-m,\gamma ;t) $ sont des polynomes orthogonaux (Jacobi) par rapport à la mesure:

    % latex2html id marker 18326
$\displaystyle \int _{0}^{1}dt\; t^{\gamma -1}(1-t)^{\alpha -m-\gamma }F(\alpha ,-m,\gamma ;t)F(\alpha ,-m',\gamma ;t)=0.$ (8.2.5)

    Le cas particulier $ (\alpha =m+1,\gamma =1) $ est celui des polynomes de Legendre.

  3. On peut écrire pratiquement tous les développements en série de fonctions spéciales comme des cas particuliers d'hypergéometriques:

    Les limites $ \alpha ,\beta \rightarrow \infty $ sont nécessaires pour réaliser la confluence des singularités régulières de $ F $ en $ t=1 $ et $ t=\infty $, et de la sorte obtenir une singularité essentielle en $ t=\infty $.


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2000-10-06