8.3 Équation et fonction de Bessel

8.3.1 Définition

$$J_{\nu }(t) \doteq \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\frac{1}{\Gamma (k+1)}\frac{1}{\Gamma (\nu +k+1)}\left( \frac{t}{2}\right) ^{2k+\nu }$$ (8.3.1)

$$= \left( \frac{t}{2}\right) ^{\nu }\lim _{\alpha ,\beta \rightarrow \infty }F(\alpha ,\beta ,\nu +1;-t^{2}/4\alpha \beta )$$ (8.3.2)

est une solution de

$$t^{2}\ddot{y}+t\dot{y}+(t^{2}-\nu ^{2})y=0.$$ (8.3.3)

$J_{-\nu }$ est aussi solution, puisque seul $\nu ^{2}$ apparait dans l'équation.

8.3.2 Propriétés

1. Si $\nu =n$ entier, en posant $k=k'+n$ dans (8.3.1), on a $J_{-n}(t)=(-1)^{n}J_{n}(t)$ qui n'est donc pas linéairement independante de $J_{n}$.
2. L'autre solution est alors donnée par la fonction de Neumann:

   $$N_{\nu }(t)\doteq \frac{\cos (\pi \nu )J_{\nu }(t)-J_{-\nu }(t)}{\sin (\pi \nu )}$$ (8.3.4)

   
   
   qui reste finie pour $\nu \rightarrow n$, contient un terme en $\log t$, et est indépendante grâce à la
3. Formule de Lommel: (Wronskien des solutions $J$ et $N$)

   $$W_{2}(J_{\nu },N_{\nu };t)=J_{\nu }(t)\dot{N}_{\nu }(t)-\dot{J}_{\nu }(t)N_{\nu }(t)=\frac{2}{\pi t}$$ (8.3.5)

   
   

4. $J_{1/2}(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi t}}\sin t$; $\qquad J_{-1/2}(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi t}}\cos t$.
5. Fonction génératrice: série de Fourier d'une onde plane à 2 dimensions:
   

   $$e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}= e^{i\, kr\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in\phi }(-i)^{n}J_{n}(kr)$$ (8.3.6)

   $$\Leftrightarrow J_{n}(kr)=\frac{i^{n}}{2\pi }\int _{0}^{2\pi }d\phi \, e^{ikr\cos \phi }e^{-in\phi }$$ (8.3.7)

   
   

6. Récurrences:
   

   $$\dot{J}_{\nu +1}(t)=\frac{\nu }{t}J_{\nu }(t)-\dot{J}_{\nu }(t)$$ (8.3.8)

   $$J_{\nu +1}(t)+J_{\nu -1}(t)=\frac{2\nu }{t}J_{\nu }(t)$$ (8.3.9)

   
   

7. Série asymptotique:

   $$J_{\nu }(t)\sim _{t\rightarrow \inft... ...ac{2}{\pi t}}\cos \left( t-\frac{\pi }{2}(\nu +\frac{1}{2})\right) +O(t^{-3/2})$$ (8.3.10)

   
   

8. Orthogonalité: Si $t=\lambda _{i},\lambda _{j}$ sont des zéros différents $J_{\nu }(\lambda _{i,j})=0$,

   $$\int _{0}^{1}dx\, xJ_{\nu }(\lambda _{i}x)J_{\nu }(\lambda _{j}x)=0\quad \lambda _{i}\not =\lambda _{j}$$ (8.3.11)

   
   

9. Zéros: Dans le plan complexe $t$, $J_{n}(t)$ ne s'annule que pour $t$ réel. $t=0$ est un zéro d'ordre $n$, les zéros suivants $t=\lambda ^{n}_{1},\lambda ^{n}_{2},\ldots \lambda ^{n}_{i}$ sont simples. Pour grand $i$, on peut approcher le $i^{e}$ zéro par la formule asymptotique $\lambda ^{n}_{i}\sim \pi (i+n/2-1/4)$ découlant de (8.3.10). Pour avoir une idée de l'erreur, l'approximation asymptotique est donnée entre parenthèses après chaque valeur exacte dans le tableau suivant.

   $\lambda _{i_{\downarrow }}^{n\rightarrow }$	0	1	2	3
   1	2.40 (2.36)	3.83 (3.93)	5.14 (5.5)	6.38 (7.07)
   2	5.52 (5.50)	7.02 (7.07)	8.42 (8.64)	9.76 (10.21)
   3	8.65 (8.64)	10.17 (10.21)	11.62 (11.78)	13.02 (13.35)
   4	11.79 (11.78)

Figure 8.3.1: Les fonctions de Bessel $J_{0}$ et $J_{1}$ et leurs approximations asymptotiques (8.3.10).

1. Application: D'après (8.3.6), $J_{n}(kr)$ est une superposition d'ondes planes $e^{i\vec{k}.\vec{x}}$ à 2 dimensions, dont le module $\vert\vec{k}\vert$ est fixé. C'est donc une fonction propre du Laplacien $\Delta =\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}$ avec la valeur propre $-k^{2}=-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}$. Les modes propres $k_{i,n}$ d'un tambour de rayon $R$ s'obtiennent en demandant que $J_{n}(k_{i,n}R)=0$ (la membrane est fixée au bord), et sont donc déterminés par les zéros $\lambda ^{n}_{i}$ des fonctions de Bessel.^8.3 On rencontre aussi les fonctions de Bessel dans tous les problèmes à symétrie cylindrique (cables coaxiaux, etc.).