2.1 Image naïve

On peut voir un vecteur usuel

$$\overrightarrow{v}=\left( \begin{array}{c} v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3} \end{array}\right) ^{\downarrow i}$$

de l'espace à 3 dimensions comme une application des indices $i=1,2,3$ vers les réels, envoyant $i\rightarrow v_{i}$ $\in \mathbb{R}$, $i^{e}$ composante de $\overrightarrow{v}$. Réciproquement, on peut aussi voir une fonction $\psi :\, x\rightarrow \psi (x)$ comme une sorte de vecteur dont ``l'indice'' $x$ est continu:

$$\psi =\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\left( \begin{array}{c} \psi (... ...\\ \psi (2\Delta x)\\ \vdots \end{array}\right) ^{\downarrow x=i.\Delta x}$$

Cette image naïve soulève quelques problèmes, liés à la définition d'un ``index'' continu, et à la singularité de la ``base $x$'' correspondante (c.f. théorie des distributions). Néanmoins elle est très utile comme support à l'intuition, à condition de savoir éviter les pièges. Pour cela, nous aurons besoin d'un formalisme abstrait plus général et rigoureux.

Notations:

• $\psi ,\phi ,\ldots$: fonctions des réels vers les complexes: $x\in \mathbb{R}\rightarrow \psi (x)\in \mathbb{C}$;
• $a,b,c,d,\ldots$: nombres complexes;
• $i,j,\ldots$: indices variant de 1 à $D$, dimension éventuellement infinie;
• $\mathbb{E}_{3}$: dénotera l'espace vectoriel usuel des vecteurs $\vec{v}$ à 3 dimensions.