2.2 Espace vectoriel abstrait

Pour définir un espace vectoriel $\mathbb{F}$, il faut avoir:

l' addition

$\oplus$ des vecteurs. C'est une loi de groupe commutatif permettant de faire la somme de deux vecteurs.

• pour les vecteurs usuels de l'espace euclidien à 3 dimensions $\mathbb{E}_{3}$, le nouveau vecteur $\vec{w}=\vec{v}\oplus \vec{v}'$ s'obtient en additionant chaque composante séparément: $w_{i}=v_{i}+v_{i}'$. Les propriétés voulues de $\oplus$découlent du groupe commutatif de l'addition sur les composantes réelles, de sorte qu'il n'est pas nécessaire de les distinguer: $\oplus \Leftrightarrow +$.
• pour les fonctions, $\phi =\psi \oplus \psi ':\, x\rightarrow \phi (x)=\psi (x)+\psi '(x)\in \mathbb{C}$ est de même défini comme une addition en chaque point séparément; par le même abus de notation on la notera $+$ tout simplement.

des scalaires

$a,b,c,d,\ldots$ formant un corps. Ce sera le corps des nombres complexes $(\mathbb{C},+,.)$. Pour rappel, un corps est une structure avec 2 lois de groupe commutatif $+$ et $.$ avec distributivité de l'une sur l'autre.

la multiplication

$\otimes$ d'un vecteur par un scalaire. Celle-ci permet de construire un nouveau vecteur $c\otimes \psi \in \mathbb{F}$ à partir de n'importe quel vecteur $\psi$ et scalaire $c$, avec les propriétés:

$$\left\{ \begin{array}{ll} c\otimes (... ... (d\otimes \psi ) & \textrm{associativit}\acute{\textrm{e}} \end{array}\right.$$

• Vecteurs usuels: $a\otimes \vec{v}$ s'obtient en multipliant chaque composante par $a$. À nouveau, ces propriétés découlent de la multiplication dans $\mathbb{R}$, et on peut simplifier les notations en prenant $a\otimes \vec{v}=a.\vec{v}$, ou tout simplement $a\vec{v}$.
• Fonctions: $\phi =c\otimes \psi :\, x\rightarrow \phi (x)=c\psi (x)$ multipliant la fonction par un même nombre en chaque point définit bien une telle multiplication scalaire. On notera le nouveau vecteur tout simplement $c\psi$ pour abréger.

Dès qu'on a un espace vectoriel de dimension $D$, on peut tenter de trouver une base, c'est-à-dire un ensemble de vecteurs $\{\phi _{1},\phi _{2},\ldots \phi _{D}\}$ possédant les propriétés:

$$\left\{ \begin{array}{ll} \forall \p... ...ghtarrow c_{1}=c_{2}=\cdots c_{D}=0 & \textrm{partie libre} \end{array}\right.$$

Comme exemple, on pourrait prendre l'ensemble des monômes $\{\phi _{1}(x)=1,\phi _{2}(x)=x,\phi _{3}(x)=x^{2}\}$ qui forme bien une base de l'espace vectoriel $\mathbb{F}$ des polynômes du second degré.

On peut démontrer que tout espace vectoriel de dimension finie $D$ possède au moins une base, et est donc isomorphe à $C^{D}$, l'espace des $D$-tuplets de nombres $\{(c_{1,}\ldots c_{D})\}$; les espaces de même dimension sont donc isomorphes entre eux. Par contre, les espaces de fonctions sont en général infinis et doivent être distingués. Par exemple, l'espace $C^{\infty }_{0}$ des séries de Taylor autour de $x=0$ est différent de $C_{[0,2]}^{0}$, espace des fonctions continues sur l'intervalle $[0,2]$: en effet, $\psi (x)=\frac{1}{1-x}$ possède un développement de Taylor sans être continue. À l'inverse, $\psi (x)=e^{-1/x}$ est continue sur l'intervalle donné, mais ne peut se représenter par son développement de Taylor autour de $x=0^{+}$, puisque les coefficients en sont tous nuls (ou infinis si l'on prend $x=0^{-}$: c'est une singularité essentielle).