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Perturbations dans un système à 2 états

On considère un système à 2 états, et on se donne les états propre d'énergie $ H_{0} $ orthonormés $ (\vert\phi _{1}\rangle ,\vert\phi _{2}\rangle ) $, de valeurs propres $ (E_{01},E_{02}) $. On veut étudier les effets d'une perturbation en énergie $ H_{0}\rightarrow H=H_{0}+\delta H $ dont on se donne les 4 éléments de matrices: $ W_{ij}=\langle\phi _{i}\vert\delta H\vert\phi _{j}\rangle $.

  1. Spin et champ magnétique fictif: puisque $ H $ (et $ H_{0} $) est une matrice $ 2\times2 $ hermitienne contenant 4 paramètres réels, on peut toujours l'écrire sous la forme
    $\displaystyle H$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{E}+\frac{g_{s}\mu _{B}}{\hbar }  \vec{B}.\vec{S}$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{E}\left( \begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)...
...gin{array}{cc}
B_{z} & B_{x}-iB_{y}\\
B_{x}+iB_{y} & -B_{z}
\end{array}\right)$  

    Exprimer $ \bar{E} $ et $ \vec{B} $ en fonctions des éléments de matrices $ H_{ij}=\langle\phi _{i}\vert H\vert\phi _{j}\rangle $. Même question pour $ \bar{E}_{0} $ et $ \vec{B}_{0} $ en fonction des éléments de matrices de $ H_{0} $.3 Dans quelle ``direction'' pointe le champ ficitf $ \vec{B}_{0} $?
  2. Considérons l'effet de la perturbation $ \delta H $ dans le cas où $ W_{12}=0 $ (la perturbation n'introduit pas de couplage entre les 2 états propres de $ H_{0} $). Les états propres de $ H $ ont-ils changé par rapport à ceux de $ H_{0} $? Quelles sont les nouvelles valeurs propres? Comparer ces résultats avec la méthode générale de perturbations vue au cours.
  3. Supposons maintenant que $ W_{ii}=0 $ 4 et $ W_{12}\not =0 $. Trouver les nouvelles valeurs propres d'énergie $ (E_{-},E_{+}) $ et les vecteurs propres associés.5
  4. Interprétation: effet du couplage sur les valeurs propres. Représenter graphiquement les valeurs propres de $ H $ $ (E_{+},E_{-}) $ en fonction de $ \Delta =(E_{01}-E_{02})/2 $ pour un couplage $ W_{12} $ fixé. Vérifier que $ E_{+}-E_{-}>\vert E_{01}-E_{02}\vert $ (effet d'écartement), et remarquer que cet effet est d'autant plus important que $ \Delta $ est petit. Vérifier algébriquement en exprimant $ E_{\pm } $ dans les limites $ \vert W_{12}\vert\ll \Delta $ (petite perturbation d'un niveau non-dégénéré) et $ \Delta =0 $ (niveau dégénéré). Comparer avec la méthode générale des perturbations jusqu'au second ordre.
  5. Effet du couplage sur les vecteurs propres. Exprimer les vecteurs propres de $ H $ $ \vert\psi _{\pm }\rangle $ dans la limite de faible couplage $ \vert W_{12}\vert\ll \Delta $. Dans le cas dégénéré ($ \Delta =0 $), un couplage aussi faible soit-il induit un mélange maximal $ \theta =\pi /2 $. Les états ``mélangés'' $ \vert\psi _{\pm }\rangle $ sont-ils états propres de $ H_{0} $ non-perturbé dans ce cas? Comparer avec la méthode générale des perturbations.


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Jean Orloff 2001-01-08