1.8 Exemples physiques: le spin de l'électron

1925

Ulhembeck et Gaudsmit: l'électron $e^{-}$ est une particule ponctuelle possédant un degré de liberté interne appelé spin (rotation sur lui-même). C'est un peu comme ``une sphère rigide massive'' car elle possède un moment d'inertie. Elle est décrite classiquement par:

$$\left\{ \begin{array}{l} \textrm{la p... ...\vec{x}\\ \textrm{le vecteur momentangulaire }:\, \vec{L} \end{array}\right.$$

1.8.1 En mécanique quantique

Le moment angulaire $\vec{J}$ ne peut plus être fixé le couple $\{J^{2},J_{z}\}$.

Attention :

• $J^{2}=\hbar ^{2}\frac{3}{4}$, $\left( j=\frac{1}{2}\right) \rightarrow$ une seule valeur de $J^{2},$ spin $1/2\protect$ donc $j$ nombre quantique de spin.
  On ne peut donc augmenter le nombre quantique de spin de l'électron (sauf en supersymétrie$\ldots$).
• L'analogie ``sphère'' est limitée: la vitesse de rotation à la surface de la sphère est TRÈS supérieure à la vitesse de la lumière si le rayon tend vers $0.$
  En effet, $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}\sim \hbar \Rightarrow \vert\vec{p}\vert\sim \frac{\hbar }{R}$ donc $v\sim \frac{\hbar }{Rm}\xrightarrow {R\rightarrow 0}\infty$
  $R_{Compton}\sim \frac{\hbar }{mc}$ : ``taille'' de $e^{-}$ $\simeq 4.10^{-13}$ m.

Un tel moment angulaire (interne) est appelé spin $\bold {\vec{S}}$. Il doit satisfaire aux relations :

$$\forall i,j,k\, \left\{ \begin{array}... ...{i},x_{j}\right] =\left[ S_{i},p_{j}\right] =0 & \qquad (3) \end{array}\right.$$

$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ donc $(3)\Rightarrow (2)$. $\vec{S}$ est un cas particulier de $\vec{J}$ qui correspond à $j=1/2$.

1.8.2 Espace des états

ECOC : $\{x,y,z,S_{z}\}$.

La base associée est donnée par : $\vert\vec{x}_{e},m_{e}=\pm 1/2\rangle$ telle que : $S_{z}\vert\vec{x}_{e},m_{e}\rangle =m_{e}\hbar \vert\vec{x}_{e},m_{e}\rangle$

Un état quelconque $\vert\psi \rangle a$ pour coordonnées : $\langle \vec{x}_{e},m_{e}\vert\psi \rangle =\psi _{m_{e}}(\vec{x})$

$$\rightarrow \psi _{m_{e}}\left( \begin{array}{c} \begin{arra... ...:\textrm{ spineur }\grave{\textrm{a}}\textrm{ deux composantes}$$