1.9 Exemples physiques: moment magnétique orbital

En pratique, $L_{z}$ ne se mesure pas directement. Par contre, on mesure un moment magnétique orbital associé au mouvement de l'électron (particule chargée $\rightarrow$création d'un moment)

Si on prend l'orbite de Bohr: moment magnétique $\mu =(\textrm{intensit}\acute{\textrm{e}})\times (\textrm{aire})$

$$\left\{ \begin{array}{l} \mu =\left( \frac{ev}{2\pi r}\right) \pi r^{2}=\frac{evr}{2}\\ L=mvr \end{array}\right.$$

Donc on a:

$$\boxed{\begin{array}{l} \vec{\mu }_{l}=-\frac{g_{l}\mu _{B}}{\hbar }\vec{L}\\ \vec{\mu }_{l}=-\frac{e}{2m}\vec{L} \end{array}}$$

• $\textrm{signe}<0$: car $e^{-}$ est chargé négativement.
• $\mu _{B}=\frac{e\hbar }{2m_{e}}=\boxed{0,93.10^{-23}\, \textrm{A}.\textrm{m}^{2}}$ où $\mu _{B}$ est le magnéton de Bohr.
• $L$: moment angulaire orbital habituel
• $g_{l}=1$: rapport gyromagnétique

En présence d'un champ magnétique constant $\vec{B}$ il ya un terne d'énergie potentielle: $\boxed{H_{LB}=-\vec{\mu }_{l}.\vec{B}}$

En pratique, $H_{LB}=\vec{B}.\vec{L}.\frac{g_{l}\mu _{B}}{\hbar }$; $\vec{B}\sim \vec{1}_{z}$: $B_{z}\hbar m_{l}$ et $m_{l}=0,1,2,\ldots$

L'électron en tournant autour du noyau crée $H_{LB}$ avec l'exterieur.

1.9.1 Effet Zeeman normal

$H_{LB}$ introduit des différences d'énergie proportionnelles à $B_{z}$ (champ $\vec{B}$ dans la direction $z$) entre les différents $(2l+1)$ états avec $\frac{L_{z}}{\hbar }=(-l,-l+1,\ldots ,l)$

Example   Si $B_{z}=1\textrm{ Tesla}=1\textrm{ Joule}/\textrm{Amp}\grave{\textrm{e}}\textrm{re}$ $\Rightarrow \Delta H_{LB}=B\mu _{B}\frac{\Delta L}{\hbar }$ avec $g_{l}=1$. D'où $\Delta H_{LB}=0,6.10^{-4}\textrm{ eV}$ pour $\Delta L=1$.

Ceci est à comparer avec les $13,6$ eV d'énergie de liaison pour l'atome d'hydrogène.

On a $(2l+1)$ états niveaux d'énergie différents: un pour chaque valeur de $l$ ($3$ niveaux pour $l=1\Leftrightarrow$onde $p$)

Fréquence associée

C'est la fréquence de Larmor classique:

$$\omega =\frac{\Delta H_{LB}}{\hbar }=\frac{\mu _{B}B_{z}}{\hbar }$$

Précession classique de $\vec{L}$ autour de $\vec{B}$ si pas parallèles (gyroscope)

En mécanique classique: $\frac{dL_{i}}{dt}=\left\{ H,L_{i}\right\} =B_{j}\frac{\mu _{B}}{\hbar }\left\{ L_{j},L_{i}\right\} =B_{j}\frac{\mu _{B}}{\hbar }\epsilon _{ijk}L_{k}$

$$\boxed{\frac{dL_{i}}{dt}=\left( \vec{\mu }_{l}\times \vec{B}\right) _{i}}$$

Note   On applique un couple à un moment angulaire, s'ils ne sont pas dans le même sens alors il y a précession.

Example   Une toupie.