1.7 Addition des moments cinétiques

1.7.1 En mécanique classique

Si les deux systèmes sont $\vec{L}_{1}=\vec{x}_{1}\times \vec{p}_{1}$ et $\vec{L}_{2}=\vec{x}_{2}\times \vec{p}_{2}$ (moments cinétiques), on forme alors $\vec{L}_{tot}=\vec{L}_{1}+\vec{L}_{2}$. Si $\vec{L}_{1}$ et $\vec{L}_{2}$ sont conservés (ex: forces centrales sur $1$ et $2,$ $V(\vec{x}_{1},\vec{x}_{2})=V(\vert\vec{x}_{1}\vert)+V(\vert\vec{x}_{2}\vert)$) et donc $\vec{L}_{tot}$ sera conservé (indépendant du temps). On peut fixer simultanément $\vec{L}_{1},\vec{L}_{2}$ et $\vec{L}_{tot}$ ($9$ quantités).

1.7.2 Généralisation en mécanique quantique

Si on a $2$ ensembles $\vec{J}_{1},\vec{J}_{2}$ de type moment cinétique, c'est-à-dire :

$$\left\{ \begin{array}{l} \left[ J_{1i},J_{1j}\right] =i\hbar \sum... ...hbar \sum _{i,j,k}J_{2k}\\ \left[ J_{1i},J_{2j}\right] =0 \end{array}\right.$$

Si on introduit $J_{tot}$ comme $\vec{J}=\vec{J}_{1}+\vec{J}_{2}$ alors $[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}$

Example   $\left\{ \begin{array}{ll} \vec{J}_{1}=\vec{L}_{1} ... ...vec{J}_{2}=\vec{L}_{2} & \end{array}\right. \Rightarrow \vec{J}=\vec{L}_{tot}$

Question

En mécanique quantique, on a besoin d'ECOC. Quels ECOC peut-on trouver ? (quelles bases ?)

• Soit $\vec{J}_{1}^{2},J_{1z},\vec{J}_{2}^{2},J_{2z}$ : c'est un ECOC. Sa base associée est $\vert j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle =\vert j_{1},m_{1}\rangle \otimes \vert j_{2},m_{2}\rangle$
  NB: Dans la base, il n'y a pas de $j_{tot}$
• Soit $\vec{J}^{2},\vec{J}_{1}^{2},\vec{J}_{2}^{2},J_{z}$ un ECOC ( $\vec{J}^{2}$ et $J_{z}$ forment $\vec{\sigma }_{tot}$). Sa base d'états propres est $\vert j_{1},j_{2},J,M\rangle$. On a par exemple :
  
  $$\left\{ \begin{array}{ll} \vec{J}^{2}\vert j_{1},j_{2},J,M\rangle... ..._{2},J,M\rangle & =\hbar ^{2}M\vert j_{1},j_{2},J,M\rangle \end{array}\right.$$
  La matrice de changement de base est la matrice des coefficients de Clebsch-Gordan ou ``symboles $3j$'' :
  
  $$\vert j_{1},j_{2},J,M\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{... ...ert j_{1},j_{2},J,M\rangle }_{\textrm{coefficients de Clebsch}-\textrm{Gordan}}$$

Example   Soient $j_{1},j_{2}=\frac{1}{2}$ et $m_{1},m_{2}=\pm \frac{1}{2}$ on est donc à $2\times 2=4$ dimensions.

Or : $J_{z}\vert j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle =(J_{1z}+J_{2z})\vert j_{1},j_{2},m_... ...ar (m_{1}+m_{2})\vert j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle \Rightarrow M=m_{1}+m_{2}$

Il y $3$ cas possibles :

$$\left\{ \begin{array}{ll} m_{1}=m_{2}=+1/2 & \Rightarrow M=1\\ ... ...rm{g}\acute{\textrm{e}}\textrm{n}\acute{\textrm{e}}\textrm{r}\acute{\textrm{e}}$$

Soit $\left\vert m_{1}=\frac{1}{2},m_{2}=\frac{1}{2}\right\rangle$ sur lequel on applique $J_{-}=J_{1-}+J_{2-}$ donc

$$% latex2html id marker 6046\begin{array}{ll} \quad \, J_{-... ... +\left\vert \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle \end{array}$$

Car: $\left\{ \begin{array}{ll} J_{1-}\vert j_{1},m_{1}\rangle & =\hbar \underbrace{... ...+1)-m_{1}(m_{1}+1)\right) ^{1/2}\vert j_{1},m_{1}+1\rangle \end{array}\right.$

$$\left\{ \begin{array}{ll} \langle j,m\vert J_{+}J_{-}\vert j,m\ra... ...\Rightarrow \boxed{J_{+}\left\vert \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle =0+0=0}$$

Finalement, $\left\vert m_{1}=\frac{1}{2},m_{2}=\frac{1}{2}\right\rangle$ est l'état où $M=m_{1}+m_{2}=1$ est maximal.

Note   $J_{+}\left\vert J,M_{max}=J\right\rangle =0$ donc $J=1$ et ainsi $\left\vert m_{1}=\frac{1}{2},m_{2}=\frac{1}{2}\right\rangle =\vert J=1,M=1\rangle$

Conclusion   Il nous reste à normaliser l'équation suivante par $J=1$. Cette normalisation va nous faire trouver le coefficient de Clebsch-Gordan.

$$\boxed{J_{-}\left\vert \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle \propto \vert J=1,M=0\rangle }$$

Note   $J_{+}\left( \left\vert -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle -\left\vert \frac... ...2}\right\rangle }_{=0}-\left\vert \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle \right)$

$\Rightarrow J_{+}\left( \left\vert -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle -\left\vert \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle \right) =0$

$$\Rightarrow \left( \left\vert -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rang... ...ert \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle \right) \propto \vert J=0,M=0\rangle$$

En normalisant

 

$$\langle J,M\vert j_{1},j_{2}\rangle \longrightarrow \left\{ \begi... ...rt-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right.$$

On est toujours à dimension $4\times 4=16=10+6$ : on vient d'écrire $6$ éléments, les $10$ autres sont nuls.

Cas général

 

• $M_{max}=j_{1}+j_{2}=J$ : $\vert\overbrace{j_{1}+j_{2}}^{=J},\overbrace{j_{1}+j_{2}}^{=M}\rangle =\vert j_{1},j_{2}\rangle$
  En agissant avec $J_{-},$ on a $2j+1=2(j_{1}+j_{2})$ états
• $M=j_{1}+j_{2}-1$ est $2$ fois dégénéré .
  On a donc : $\left\{ \begin{array}{ll} m_{1}=j_{1}, & m_{2}=j_{2}-1\\ \textrm{ou} & \\ m_{1}=j_{1}-1, & m_{2}=j_{2} \end{array}\right.$
  $\vert J=j_{1}+j_{2}-1,M=J\rangle$ est orthogonal avec le vecteur où on fait agir $J_{-}$ sur l'état maximal : $J_{-}\vert j_{1}+j_{2},M=j_{1}+j_{2}\rangle$
• $M=j_{1}+j_{2}-2$ est $3$ fois dégénéré.
  $J=j_{1}+j_{2}-2$ s'obtient en prenant un vecteur orthogonal $J^{2}_{-}\vert j_{1}+j_{2}\rangle$ et $J_{-}\vert j_{1}+j_{2}-1\rangle$

Conclusion    

$$% latex2html id marker 6110\begin{array}{lll} \textrm{ }\l... ... 2\\ \det =1\: ;\: U^{-1}=U^{\dagger } \end{array}\end{array}$$

Réponse

La correspondance entre $SU(2)$ et $O(3)$ se fait par $O(3)=\frac{SU(3)}{\mathbb{Z}(2)}$ avec $\mathbb{Z}(2)\in SU(2)$

Example   La matrice suivante appartient au centre de $SU(2)$; ie elle commute avec toute $U$ de $SU(2)$.

$$U_{0}=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right) \in SU(2)$$

Donc on peut prendre :

$$\left\{ \begin{array}{l} U\in SU(2)\\ UU_{0}=U_{0}U\in SU(2) \end{array}\right. \rightarrow O\in O(3)$$

Donc la correspondance ne se fait que dans un seul sens:

$$\theta \in [0,2\pi ]\; O(3)\longleftarrow SU(2)\; \theta \in [0,4\pi ]$$

En divisant par $\mathbb{Z}(2)$, on enlève le problème du spin $1/2\protect$.

Note   À un élément de $O(3)$ (c'est-à-dire $\theta$) correspond $2$ éléments de $SU(2)$ (c'est-à-dire $\theta$ et $\theta +2\pi$)